中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第三章 Poission过程( Poission信号流) 四、到达时间的条件分布 下面讨论在条件N(1)=n下,S,S2…,S,的条件分布问题。 定理:设{N()t≥0}为时齐 Poission过程,则对v0<s<t,有: {X≤s|N(t)=1} 证明: P(x≤N()=1)=2xXsA()=1= P{N(t)=1} PN(s)=1N()-N(s)=0}(4s)e”s P{N()=1} (2.s)e 定理:设{N(),t≥0}为 Poission过程,则事件相继发生的时间 S,S2…,S,在已知条件N(t)=n下的条件概率密度为 f(t12,…y)=1r 0<t,<t<…<t<t 其它 证明:对0<1<12<…<tn<tn1=t,取h=hn1=0及充分小的 h,使得1+h<tn1,1≤i≤n,则有: P1<S≤t+h1,1≤i≤nN()=n P{N(t1+h1)-N(t1)=1,1≤i≤n,N(t)-N(t1+h)=0,1≤j≤n PIN(=n (h1)e…(hn)e,e-() (t) hh2…h 因此可得定理的结果。中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第三章 Poission 过程（Poission 信号流） 四、 到达时间的条件分布 下面讨论在条件 N(t) = n 下， S S S n , , , 1 2  的条件分布问题。 定理：设 {N(t), t  0} 为时齐 Poission 过程，则对 0  s  t ，有： t s P{X1  s N(t) =1} = 证明： t s s e s e e P N t P N s N t N s P N t P X s N t P X s N t t s t s =  = = = − = = = =  =  = = − − − −      ( ) ( ) { ( ) 1} { ( ) 1, ( ) ( ) 0} { ( ) 1} { , ( ) 1} { ( ) 1} ( ) 1 1 定理：设 {N(t), t  0} 为 Poission 过程，则事件相继发生的时间 S S S n , , , 1 2  在已知条件 N(t) = n 下的条件概率密度为          = 0 , 其它 , 0 ! ( , , , ) 1 2 1 2 t t t t t n f t t t n n n   证明：对 t t t t t 0  1  2  n  n+1 = ，取 h0 = h n+1 = 0 及充分小的 i h ，使得 t i + hi  t i+1 ,1 i  n ，则有： n n t n h t h h h n h i i i j j j i i i i h h h t n e n t h e h e e P N t n P N t h N t i n N t N t h j n P t S t h i n N t n n n    1 2 ( ) 1 1 ! ! ( ) ( ) ( ) { ( ) } { ( ) ( ) 1,1 , ( ) ( ) 0,1 } { ,1 ( ) } 1 1 2 =  = = + − =   − + =   =   +   = = − − − − − − − − +        因此可得定理的结果