下面讨论n之m的情形.假设当次数小于n时，g(x),(x)的存在已证现来看次数为n的情形 令a,bx"分别是f(x),g(x)的首项，显然b'ar-"g(x)与f(x)有相同的首项，因而多项式 f(x)=f(x)-b-ax"-"g(x) 的次数小于n或为0.对于后者，取q(x)=ba-,(x)=0对于前者，由归纳法假设，对f(x),g(x) 有q(x,r(x)存在使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 其中((x》<(g(x》或者r(x)=0.于是 f(x)=(gi(x)+bax"-m)g(x)+(x), 也就是说有q(x)=g,(x)+b'a-m,r(x)=r(x)使f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立由归纳法原理，对任意的∫(x),g(x)≠0，q(x),r(x)的存在性就证明了 下面来证唯一性设另有多项式g(x),r'(x)使 f(x)=q（x)g(x)+r'(x) 其中r(x)<(g(x)》或者r'=0.于是 q(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r(x) 即 (g(x)-g(x)8(x)=r(x)-r(x) 如果q(x)≠g(x).又据假设g(x)≠0，那么r'(x)-r(x)≠0，且有 aqx)-q'(x)+(g(x》=ar(x)-(x》 但是(g(x》>a(r(x)-r(x》,所以上式不可能成立这就证明了qx)≠q(w),因此(x)=r'(x) 带余除法中所得的qx)通常称为g(x)除f(x)的商称，(x)为g(x)除f(x)的余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除∫(x),如果有数域P上的多项式(x)使等式 f(x)=g(x)hx)成立我们用"g(x)f(x)"表示g(x)整除f(x),用g(x)f(x)表示g(x)不能整除 下面讨论 n m 的情形.假设当次数小于 n 时, q x r x ( ), ( ) 的存在已证.现来看次数为 n 的情形. 令 , n m ax bx 分别是 f x( ) , g x( ) 的首项,显然 1 ( ) n m b ax g x − − 与 f x( ) 有相同的首项,因而多项式 1 1 ( ) ( ) ( ) n m f x f x b ax g x − − = − 的次数小于 n 或为 0 .对于后者,取 1 ( ) , ( ) 0 n m q x b ax r x − − = = ;对于前者,由归纳法假设,对 f x( ) , g x( ) 有 q x r x ( ), ( ) 存在使 1 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 1    ( ( )) ( ( )) r x g x 或者 1 r x( ) 0 = .于是 1 1 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) n m f x q x b ax g x r x − − = + + , 也就是说,有 1 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) n m q x q x b ax r x r x − − = + = 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 成立.由归纳法原理,对任意的 f x g x q x r x ( ), ( ) 0, ( ), ( )  的存在性就证明了. 下面来证唯一性.设另有多项式 q x r x   ( ), ( ) 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = +   其中    ( ( )) ( ( )) r x g x  或者 r  = 0 .于是 q x g x r x ( ) ( ) ( ) + = + q x g x r x   ( ) ( ) ( ) 即 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) q x q x g x r x r x − = −   如果 q x( )  q x ( ) .又据假设 g x( ) 0  ,那么 r x r x ( ) ( ) 0 −  ,且有  − +  =  − ( ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) q x q x g x r x r x   但是    − ( ( )) ( ( ) ( )) g x r x r x  ,所以上式不可能成立.这就证明了 q x( )  q x ( ) ,因此 r x r x ( ) ( ) =  带余除法中所得的 q x( ) 通常称为 g x( ) 除 f x( ) 的商称,r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g x( ) 称为整除 f x( ) ,如果有数域 P 上的多项式 h x( ) 使等式 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 成立.我们用 " ( ) ( )" g x f x 表示 g x( ) 整除 f x( ) ,用 g x( ) |/│ f x( ) 表示 g x( ) 不能整除