教学过程 这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的数域P上的多项式环Px)中进行的，以后就不每 次重复说明了 在一元多项式环中，可以作加、减、乘、三种运算，但是乘法的逆运算一—除法一一并不是普遍 可以做的因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式， 例如，设 f(x)=3x23+4x2-5x+6,g(x)=x2-3x+1 我们可以按下面的格式来作除法：x2-3x+13x2+4x2-5x+6 3x+13 3x3-9x2+3x 13x2-8x+6 13x2-39x+13 31x-7 于是求得商为3x+13,余式为31x-7.所得结果可以写 3x3+4x2-5x+6=(3x+13x2-3x+1)+(31x-7) 这个求法实际上具有一般性，下面就按这个想法证明一元多项式环的一个基本性质。 带余除法对于Px]中任意两个多项式∫(x)与g(x),其中g(x)≠0，一定有Px]中的多项式 q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，其中((x)<(g(x》或者r(x)=0,并且这样的gx,r(x)是唯一决定的 证明()中q(x)和(x)的存在性可以由上面所说的除法直接得出我们用归钠法 语言来叙述 如果f(x)=0,取g(x)=(x)=0即可 以下设f(x)≠0.令f(x),g(x),的次数分别为n,m.对f(x)的次数n作（第二）数学归纳法 当n<m时，显然q(x)=0,r(x)=f(x)取，)式成立教学过程: 这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的数域 P 上的多项式环 P x[ ] 中进行的,以后就不每 次重复说明了. 在一元多项式环中,可以作加、减、乘、三种运算，但是乘法的逆运算——除法——并不是普遍 可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式， 例如，设 3 2 f x x x x ( ) 3 4 5 6 = + − + , 2 g x x x ( ) 3 1 = − + 我们可以按下面的格式来作除法: 2 x x − + 3 1 3 2 3 4 5 6 x x x + − + 3 13 x + 3 2 3 9 3 x x x − + 2 13 8 6 x x − + 2 13 39 13 x x − + 31 7 x− 于是求得商为 3 13 x + ，余式为 31 7 x− .所得结果可以写成 3 2 2 3 4 5 6 (3 13)( 3 1) (31 7) x x x x x x x + − + = + − + + − 这个求法实际上具有一般性,下面就按这个想法证明一元多项式环的一个基本性质. 带余除法 对于 P x[ ] 中任意两个多项式 f x( ) 与 g x( ) ,其中 g x( ) 0  ,一定有 P x[ ] 中的多项式 q x r x ( ), ( ) 存在,使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + (1) 成立,其中    ( ( )) ( ( )) r x g x 或者 r x( ) 0 = ,并且这样的 q x r x ( ), ( ) 是唯一决定的. 证明 (1)中 q x( ) 和 r x( ) 的存在性可以由上面所说的除法直接得出.我们用归纳法 语言来叙述. 如果 f x( ) 0 = ,取 q x r x ( ) ( ) 0 = = 即可. 以下设 f x( ) 0  .令 f x( ) , g x( ) ,的次数分别为 n m, .对 f x( ) 的次数 n 作(第二)数学归纳法. 当 n m 时,显然 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( ) = = 取,(1)式成立