f(x) g(x/(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式 当g(x)≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别法」 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0，gx)儿f(x)的充分必要条 件是g(x)除∫(x)的余式为零. 证明如果r(x)=0,那么fx)=qx)g(x),即g(x)f(x)反过米，如果g(x)f(x),那么 f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0.r(x)=0. 带余除法中g(x)必须不为零但g(x)f(x)中，g(x)可以为零这时 f(x)=g(x)-(x)=0.h(x)=0. 当gx/)时.如g≠0.g除了)所得的商g)有时也用用来表示 g(x) 由定义还可看出，任一个多项式f(x)一定整除它自身，即f(x)f(x).因为f(x)=1f(x):任一个 多项式f(x)都整除零多项0，因为0=0·f(x);零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式，因 为当a≠0时，fx)=a(afx). 下面介绍整除性的几个常用的性质 1.如果fx)g(),g(x)f(x),那么f(x)=cg(x),其中c为非零常数 事实上，由f(x)g(x)有g(x)=h(x)f(x),由g(x)f(x)有f(x)=h(x)g(x).于是 f(x)=h(x)h(x)f(x) 如果fx)为零，那么g(x)也为零，结论显然成立如果f(x)≠0，那么消去f(x)就有 (x)h(x)=1 从而4(x)》+0h,(x》=0.由此即得h(x》=(h,(x》=0,故h(x)是一非零常数 2.如果f(x)g(x),g(x)hx)那么f(x)hx)(整除的传递性) 显然，由f x( ) . g x f x ( ) ( ) 时, g x( ) 就称为 f x( ) 的因式, f x( ) 称为 g x( ) 的倍式. 当 g x( ) 0  时,带余除法给出了整除性的一个判别法. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f x g x ( ), ( ),其中 g x( ) 0  , g x f x ( ) ( ) 的充分必要条 件是 g x( ) 除 f x( ) 的余式为零. 证明 如果 r x( ) 0 = , 那么 f x q x g x ( ) ( ) ( ) = , 即 g x f x ( ) ( ) 反过来, 如果 g x f x ( ) ( ) , 那么 f x q x g x q x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = = + ,即 r x( ) 0 = . 带余除法中 g x( ) 必须不为零.但 g x f x ( ) ( ) 中, g x( ) 可以为零.这时 f x g x h x h x ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 =  =  = . 当 g x f x ( ) ( ) 时,如 g x g x ( ) 0, ( )  除 f x( ) 所得的商 q x( ) 有时也用 ( ) ( ) f x g x 来表示. 由定义还可看出,任一个多项式 f x( ) 一定整除它自身,即 f x f x ( ) ( ).因为 f x f x ( ) 1 ( ) =  ;任一个 多项式 f x( ) 都整除零多项 0 ,因为 0 0 ( ) =  f x ;零次多项式,也就是非零常数,能整除任一个多项式,因 为当 a  0 时, 1 f x a a f x ( ) ( ( )) − = . 下面介绍整除性的几个常用的性质: 1. 如果 f x g x ( ) ( ), g x f x ( ) ( ),那么 f x cg x ( ) ( ) = ,其中 c 为非零常数. 事实上,由 f x g x ( ) ( ) 有 1 g x h x f x ( ) ( ) ( ) = ,由 g x f x ( ) ( ) 有 2 f x h x g x ( ) ( ) ( ) = .于是 1 2 f x h x h x f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 如果 f x( ) 为零,那么 g x( ) 也为零,结论显然成立.如果 f x( ) 0  ,那么消去 f x( ) 就有 1 2 h x h x ( ) ( ) 1 = 从而 1 2  +  = ( ( )) ( ( )) 0 h x h x .由此即得 1 2  =  = ( ( )) ( ( )) 0 h x h x ,故 2 h x( ) 是一非零常数. 2. 如果 f x g x ( ) ( ), g x h x ( ) ( ) 那么 f x h x ( ) ( ) (整除的传递性). 显然,由