高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第三讲全微分 教学内容：全微分的定义，全微分存在的充分条件和必要条件。 教学目标：深刻理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。 教学难点：计算多元函数的全微分。 教学方法：新课讲授法 作业：p751,2,3,4,5. 教学过程： 一、全微分的定义 回顾一元函数的微分的概念 我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相 对于该自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x, f(x,y+△y)-f(x,y)≈f(x,y)△y 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对 y的偏微分 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义，并设P'(x+△x,y+△y)为这邻 域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x+△x,y+△y)-f(x,y)为函数在点P对应 于自变量增量△x、△y的全增量，记作△z,即 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) (1) 一般说来，计算全增量△z比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增 量△x、△y的线性函数来近似的代替函数的全增量△z,从而引入如下定义 定义如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全增量 △z=f(x+△x,y+Ay)-f(x,y) 可表示为 △z=A△r+B△y+o(p), (2)