高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x、y有关，p=V(△x)子+(A)2,则称函数 z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，而A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全微 分，记作dz,即d2=A△x+B△y. 在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点 连续.但是，如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，由(2)式可得lim△z=0, D 从而 lim(x+△x,y+△y)=lim[(x,y)+△z]=f(x,y). △r0 △00 △0 因此，函数z=f(x,y)在点P(x,y)处连续. 下面讨论函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分的条件. 定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，则该函数在点P(x,y) 的偏导数空、三必定存在，且函数z=fx,)在点Px,)的全微分为 _Oz Ax+ dz oz by (3) 证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是，P'(x+△x,y+△y)∈U(P),(2) 式总成立.特别当△y=0时(2)式也应成立，这时p=△x|,所以(2)式成为 f(x+△x,y)-f(x,y)=A·△x+o(I△xD· 上式两边各除以△x,再令△x→0而取极限，就得 lim f(x+△，)-fx,2=A, K+0 △x 从而偏导数 产存在且等于A.同理可证=B.所以(3》式成立.证毕。 C Cy 我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件.但对于多元函数来 说，情形就不同了.当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 △y,但 az△x+ 它与△z之差并不一定是较P高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分.换句话说，各 2