高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.例如，函数 x2+y2≠0， z=f(x,y) x2+y2 0. x2+y2=0 在点P(0,0)处有f(0,0)=0及f(0,0)=0,所以 △z-[f(0,0)·△x+f(0,0)·△y] △x·Ay V(A)2+(4)2 如果考虑点P'(x+△x,y+△y)沿着直线y=x趋于P(0,0),则 △x·△y V(④)2+(Ay)2 △x·△y △x·△x1 P (Ax)2+(Ay)2(△x)2+(△2 这表示p→0时，△z-[f(0,0)·△x+f(0,0)△y]并不是较p高阶的无穷小，因此函数在 点P(0,0)处的全微分并不存在，即函数在点P(0,0)处是不可微分的 由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是，如 果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理. 定理2（充分条件）如果函数：=fK,)的偏导数产、产在点Px,)逢铁，则函 数在该点可微分， 证我们只讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在 点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在 某一点连续均应如此理解).设点P(x+△x,y+△y)为这邻域内任意一点，考察函数的全增 量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y+Ay)]+[f(x,y+Ay)-f(x,y)] 应用拉格朗日中值定理，得到 △2=f(x+△x,y+△y)-f(x,y+Ay)△r=f(x+△x,y+△y) (0<0<1) 3