高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 又假设f(x,y)在点P(x,y)连续，所以上式可写为 f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)=f(x,y)△x+E,△x (4) 其中6，为△x、△y的函数，且当△x→0，△y→0时，6→0. 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 f(x,y+Ay)-f(x,y)=f(x,y)Ay+Ay, (5) 其中6，为△y的函数，且当△y→0时，62→0. 由(4)、(5)式可见，在偏导数连续的假定下，全增量△z可以表示为 △2=f(x,y)Ax+f,(x,y)Ay+Er+E2Ay· (6) 容易看出 6,△r+82Ay ≤el+lel, 它是随着△x→0，△y→0即p→0而趋于零. 这就证明了z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的. 以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到 三元和三元以上的多元函数， 习惯上，我们将自变量的增量△x、△y分别记作dk、少，并分别称为自变量x、y的 微分.这样，函数z=(x,y)的全微分就可以写为 oz dy dx+ (7) 8x 我们称 82 。二d与二少分别为函数z=f(x,y)对自变量x、y的偏微分，那么二 O dy 元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，这一结论也称为二元函数的微分符合叠加原 理.叠加原理也适用于二元以上的函数.如果三元函数u=(x,y,z)可以微分，那么它的 全微分就等于它的三个偏微分之和，即 du aud也· ax dy