不是左零因子,同理也不是右零因子,所以R是无零因子环。* 定义1.30代数系<F:+,o>称为一个域,如果它是至少含有 两个元的交换环,且F\0}关于乘法运算是交换群。 由定义可见,F至少含加法单位元(即环的零元0)和乘法单位 e。 任一个数集对于数的加法和乘法要构成一个域都必须含0和 1。有理数集Q、实数集R和复数集C对数的加法和乘法都构成域, 分别称为有理数域、实数域、复数域。 交换环所具有的性质在域中都成立。在域中还有以下性质: 1若a≠0,b≠0,则ab≠0。 事实上,如果ab=0,则当a≠0时,由a-(ab)=a-0,可推出b=0 2乘法消去律成立,即,若a≠0,ab=ac,则b=c 事实上,在ab=ac两边左乘a,即得b=c 因此,a,b,c∈F(域),方程ax+b=c(其中a≠0)在域F中有唯 解x=a-(c-b) 数集F对数的加法和乘法构成数域的条件也可简述为:数集F 含0,1,且对数的加、减、乘、除(除数不为0)运算封闭。这是因为 对减法封闭(即Va,b∈F,a-b∈F)保证了F中任何非零数a对加法可 逆(即(一a)=0-a∈F);对除法封闭即va,b∈F,且a≠0,均有b/a∈F) 保证了F中任何非零数a对乘法可逆(即a=1/a∈F) 例4设Q(√2)={a+bV2ab∈Q},证明Q2)是一个数域 证在集Q(2)中含0,1,且数的加、减、乘运算显然封闭(证 明留给读者)。如果c+d√2≠0(c,d∈Q),则c-d≠0,且 (a+b√2)c-d√2)ac-2bd,bc- c+d√2 2∈Q( c2-2d2c2-2d2 故在集Q(√2)上除法运算也封闭,所以Q(√2)是一个数域 任何数域F都包含有理数域Q,即Q是最小的数域。事实上,由 0,1∈F,得 F,从而ZcF;又 vp,q∈ZcF,p≠0,均有q/p∈F而q/p∈Q,所以,QF.这就证明了Q 是最小的数域。 任何一个数域显然都含有无穷多个元素。但是一般的域并不都 像数域那样含有无穷多个元素。例如,<Z2,⊕,∞>是仅含两个元素0,1 的有限域。因为由例3已知它是一个交换环,又非零元1是乘法单 位元,它是可逆的,其逆元为自身不是左零因子，同理也不是右零因子，所以 R 是无零因子环。** 定义 1.30 代数系<F:+,>称为一个域，如果它是至少含有 两个元的交换环，且 F\{0}关于乘法运算是交换群。 由定义可见，F 至少含加法单位元(即环的零元 0)和乘法单位 元 e。 任一个数集对于数的加法和乘法要构成一个域都必须含 0 和 1。有理数集 Q、实数集 R 和复数集 C 对数的加法和乘法都构成域， 分别称为有理数域、实数域、复数域。 交换环所具有的性质在域中都成立。在域中还有以下性质： 1 若 a0，b0，则 ab0。 事实上,如果 ab=0，则当 a0 时, 由 a -1 (ab)=a-1 0,可推出 b=0 . 2 乘法消去律成立，即，若 a0, ab=ac, 则 b=c. 事实上, 在 ab=ac 两边左乘 a -1，即得 b=c。 因此, a,b,cF(域)，方程 ax+b=c(其中 a0)在域 F 中有唯 一解 x=a -1 (c−b). 数集 F 对数的加法和乘法构成数域的条件也可简述为：数集 F 含 0, 1, 且对数的加、减、乘、除(除数不为 0)运算封闭。这是因为： 对减法封闭(即a,bF,a−bF)保证了 F 中任何非零数 a 对加法可 逆(即(−a)=0−aF);对除法封闭(即a,bF,且 a0, 均有 b/aF) 保证了 F 中任何非零数 a 对乘法可逆(即 a -1 =1/aF). 例 4 设 Q( 2) = {a + b 2 a,bQ},证明 Q( 2) 是一个数域 证 在集 Q( 2) 中含 0, 1, 且数的加、减、乘运算显然封闭(证 明留给读者)。如果 c+d 2 0(c,dQ)，则 c-d 2 0,且 2 ( 2) 2 2 2 2 ( 2)( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 Q c d bc ad c d ac bd c d a b c d c d a b  − − + − − = − + − = + + 故在集 Q( 2) 上除法运算也封闭，所以 Q( 2) 是一个数域。 任何数域 F 都包含有理数域 Q,即 Q 是最小的数域。事实上,由 0,1F ， 得 n= 1+1+ … +1F; 0-n=-nF, 从 而 ZF; 又 p,qZF,p0,均有 q/pF 而 q/pQ,所以，QF. 这就证明了 Q 是最小的数域。 任何一个数域显然都含有无穷多个元素。但是一般的域并不都 像数域那样含有无穷多个元素。例如,<Z2,, >是仅含两个元素 0,1 的有限域。因为由例 3 已知它是一个交换环，又非零元 1 是乘法单 位元，它是可逆的，其逆元为自身