1环R对加法构成交换群,因此,环具有交换群的性质 2由环R的乘法对加法满足左、右分配律可得: a0=0a=0,(0为加法的单位元, (1-27) a(-b()b=-ab (1-28) (1-29) 事实上,任取b∈R,有 于是,上式两端加(-ab)即得a0=0。 同理0 0a=0。再由 ab+a(-b)=a(b+(-b)=a0=0 即得 同理,(-a)b=ab,于是又有 abF-(ab=-(ab=ab 由a-b=at(-b),又可得乘法对减法满足左,右分配律: (b-c)=ba bc 环中乘法的零元简称环的零元,它与数的乘法中数0的作用相 3环对乘法构成半群,因此环中元素的正整数幂满足指数律 a a-a (a)"=a 在交换环中,也有二项式定理 (a+b)"=a"+Ca"b+…+(a"-b4+…,+Cnab-1+b" *在环R中,乘法运算的零因子问题是一个重要问题。例如: 在模6剩余类环z6=0.12,34,5}中,2≠0,3≠0,而 2。3=2.3=6=0,此外,由32=0=304,也不能消去3。 般va,b∈R(环),由ab=0,不能推出a=0或b=0。进而,由ab=ac, 也不能消去a得到b=C 定义1.29环R中的元素a1(a2)称为左(右)零因子,如果存在 b∈R(b≠0),使得ab=0(ba2=0)。 根据定义,环R的零元既是左零因子,又是右零因子。 个环R称为无零因子环,指的是除R的零元外,R既无左零 因子,又无右零因子。 无零因子的交换环R(R≠{0})叫做整环。例1,例2都是整环 例3的Zn,当n为素数时也是整环。这是因为:va≠0=n,b≠0,都 有ab=ab≠n=0 定理1.5环R为无零因子环的充要条件是乘法的消去律成 立,即v0≠a∈R,由ab=ac或ba=ca,均可推出b=c 证由ab=ac得a(b-c)=0,因为无零因子环R中任何非零元a 都不是左零因子,所以b-c=0,即b=c。同理,由ba=ca(a≠0)也可 推出b=c 反之若消去律成立,则v0≠a∈R,由ab=0=a0可得b=0。所以a1 环 R 对加法构成交换群，因此, 环具有交换群的性质。 2 由环 R 的乘法对加法满足左、右分配律可得： a0=0a=0 , (0 为加法的单位元), (1-27) a(−b)=(−a)b=−ab (1-28) (−a)(−b)=ab (1-29) 事实上，任取 bR, 有 ab+a0=a(b+0)=ab 于是，上式两端加(−ab)即得 a0=0。同理 0a=0。再由 ab+a(−b)=a(b+(−b))=a0=0 即得 a(−b)=−ab 同理，(−a)b=−ab; 于是又有 (−a)(−b)=−(−a)b=−(−ab)=ab 由 a−b=a+(−b), 又可得乘法对减法满足左 , 右分配律： a(b−c)=ab−ac , (b−c)a=ba−bc . 环中乘法的零元简称环的零元，它与数的乘法中数 0 的作用相 同。 3 环对乘法构成半群，因此环中元素的正整数幂满足指数律 a n a m =a n+m , (an ) m =a nm 在交换环中，也有二项式定理 (a+b)n = n n n n k n k k n n n n a +C a b+ +C a b + +C ab +b 1 −1  −  −1 −1 ** 在环 R 中，乘法运算的零因子问题是一个重要问题。例如： 在 模 6 剩余类环 {0,1,2,3,4,5} Z6 = 中 ， 2  0, 3  0 , 而 23 = 23 = 6 = 0 ，此外，由 3 2 = 0 = 3 4 ，也不能消去 3。 一般a,bR(环)，由 ab=0,不能推出 a=0 或 b=0。进而，由 ab=ac, 也不能消去 a 得到 b=c. 定义 1.29 环 R 中的元素 a1(a2)称为左(右)零因子，如果存在 bR(b0)，使得 a1b=0(ba2=0)。 根据定义，环 R 的零元既是左零因子，又是右零因子。 一个环 R 称为无零因子环,指的是除 R 的零元外，R 既无左零 因子，又无右零因子。 无零因子的交换环 R(R{0})叫做整环。例 1,例 2 都是整环； 例 3 的 Zn，当 n 为素数时也是整环。这是因为： a  0 = n,b  0 ,都 有 a b = ab  n = 0 . 定理 1.5 环 R 为无零因子环的充要条件是乘法的消去律成 立，即0aR，由 ab=ac 或 ba=ca，均可推出 b=c。 证 由 ab=ac 得 a(b-c)=0，因为无零因子环 R 中任何非零元 a 都不是左零因子，所以 b-c=0，即 b=c。同理，由 ba=ca(a0)也可 推出 b=c。 反之若消去律成立，则0aR，由 ab=0=a0 可得 b=0。所以 a