成交换群和半群,而不能成为区别于群结构的另一种代数结构。 如果环<R:+,。>中的乘法满足交换律,则称其为交换环;如 环关于乘法存在单位元(乘法单位元e也常记作1),则称为含幺环 例1对于数的加法和乘法,代数系<Z:+,。>,<Q+,o>,<R:+, >,<C:+,o>都是含幺交换环。 <Ze:+,o>(Ze为偶数集)是交换环,但不是含幺环。 N+,。>(N为自然数集)不是环,因为<N:十>不是群 例2整系数多项式集合 z[x}={p(x) =ax+anx+…+ax+ala∈Z,neN} +an-IX 对多项式加法和乘法构成一个含幺交换环,乘法单位元为px=1, 但是对于自然数n Z[x]-={p(x)=ax2+ax+…+ax+aa∈Z} 对同样的加法和乘法不构成环,因为Z[x]对乘法不封闭,不是半 群 例3在模n剩余类加法群<Zn⊕>中定义乘法运算“。”为 b=ab,(va,b∈zn) 则<Za:⊕,。>是一个含幺交换环。这是因为 (1)这里定义的乘法“”是Z上的一个代数运算,因为ab的 运算结果是唯一的,它与等价类a,b的代表元的选择无关,其证明 如下 设a1=a,h=b,即a:=pn+a,b=qn+b, 其中p,q∈Z,则 a,b=(pg+pb+ag)n+(ab) 因此abab(modn),从而ah=ab (2)乘法“。”运算显然满足结合律与交换律;单位元为 (3)乘法对加法满足分配律,因为 ao(bec=aob+c=ab+c)=ab+ac= abac=ao beaoc 环的简单性质:成交换群和半群，而不能成为区别于群结构的另一种代数结构。 如果环< R: +,  >中的乘法满足交换律，则称其为交换环；如 环关于乘法存在单位元(乘法单位元 e 也常记作 1)，则称为含幺环。 例 1 对于数的加法和乘法, 代数系<Z: +,  >, <Q: +, >, <R: +,  >, <C: +,  >都是含幺交换环。 <Ze: +,  > (Ze 为偶数集)是交换环，但不是含幺环。 <N: +,  > (N 为自然数集)不是环，因为<N: +>不是群。 例 2 整系数多项式集合 Z[x]={p(x)=anx n +an-1x n-1 ++a1x+a0aiZ, nN} 对多项式加法和乘法构成一个含幺交换环，乘法单位元为 p(x)=1， 但是对于自然数 n Z[x]n+1={p(x)=anx n +an-1x n-1 ++a1x+a0aiZ } 对同样的加法和乘法不构成环，因为 Z[x]n+1对乘法不封闭，不是半 群。 *例 3 在模 n 剩余类加法群< Zn:  >中定义乘法运算“”为 , ( , ) a b = ab a bZn  则< Zn: ,  >是一个含幺交换环。这是因为 (1) 这里定义的乘法“”是 Zn上的一个代数运算，因为 a  b 的 运算结果是唯一的，它与等价类 a,b 的代表元的选择无关，其证明 如下： 设 a1 = a, b1 = b ，即 a1=pn+a, b1=qn+b, 其中 p,qZ, 则 a1b1=(pq+pb+aq)n+(ab) 因此 a1b1ab(mod n) , 从而 a1b1 = ab . (2) 乘法“”运算显然满足结合律与交换律; 单位元为 1。 (3) 乘法对加法满足分配律，因为 a(bc) = ab+c = a(b+c) = ab+ac = abac = abac 环的简单性质：