1在群G中消去律成立,即va,b∈G,若ax=ay,则x=y:若 xb=yb,则 证用a-左乘等式ax=ay的两边,得a(ax)=a(ay),于是 (aa)x=(aa)y,即ex=ey,故x=y 同样,在xb=yb两边都右乘b,也可推出x=y 如果有限群G={a,a,…,an},则aa,aa2,…,aan1互不相同, 因为若aa=aa(j≠k)由消去律即得a=a,这与假设矛盾 2对va,b∈G,方程ax=b在群G中有唯一解x=ab;ya=b在 群G中有唯一解和y=ba'。 证将ax-b两边左乘a,即得x=a"b∈G。如果ax=b有两个解 x,,则ax1=ax,由消去律即得x=x,故x=ab是其唯一解。同 理y=ba是方程ya=b的唯一解。 3在群G中,定义元素a的方幂为 (1-21) 则a的方幂满足以下指数律: aa -a 在交换群中,指数律a"b=(ab)"也成立。 我们还可以定义: a=e, a 如此,(1-22),(1-23)式,Vm,n∈Z都成立。 4.逆元的性质: (ab)=b 'a (1-26) 事实上,由aa=a-a=e即得(1-25)式;由 (ab)(ba)=a(bb )a=aa=e (b a)ab=b(a a)b=b"b=e 即得(1-26)式。 1.10.2环与域 环与域都是有两个代数运算“⊕,。”(通常称为“加法,乘法”) 的代数系,a④b和aob简记为a+b和ab。 定义128代数系<R+,。>称为环,如果 (1)<R:+>是交换群(加法群),其单位元记作0 (2)<R:。>是半群; (3)运算“。”对“+满足左、右分配律,即va,b,c∈R, a(b+cAbac (b+c)a=atca 定义中的(3)是重要的,没有它,R只是对“+”和“o”分别构1 在群 G 中消去律成立，即a,bG, 若 ax=ay, 则 x=y；若 xb=yb，则 x=y。 证 用 a -1 左乘等式 ax=ay 的两边，得 a -1 (ax)=a-1 (ay)，于是 (a-1 a)x=(a-1 a)y，即 ex=ey，故 x=y。 同样，在 xb=yb 两边都右乘 b -1，也可推出 x=y 如果有限群 G={a1,a2,,an }，则 aia1, aia2 ,,aian 互不相同， 因为若 aiaj=aiak(jk)由消去律即得 aj=ak，这与假设矛盾。 2 对a,bG, 方程 ax=b 在群 G 中有唯一解 x=a -1 b;ya=b 在 群 G 中有唯一解和 y=ba-1。 证 将 ax=b 两边左乘 a -1，即得 x=a -1 bG。如果 ax=b 有两个解 x1,x2,，则 ax1=ax2, 由消去律即得 x1=x2, 故 x=a -1 b 是其唯一解。同 理 y=ba-1是方程 ya=b 的唯一解。 3 在群 G 中，定义元素 a 的方幂为 a 1 =a , a n+1 =a n a (1-21) 则 a 的方幂满足以下指数律： a n a m =a n+m (1-22) (an ) m =a mn (1-23) 在交换群中, 指数律 a n b n =(ab)n也成立。 我们还可以定义： a 0 = e; a -n =(a-1 ) n , (n > 0) (1-24) 如此，(1-22),(1-23)式 ,  m,nZ 都成立。 4. 逆元的性质： (a-1 ) -1 =a ; (1-25) (ab)-1 =b-1 a -1 (1-26) 事实上，由 aa -1 =a -1 a=e 即得(1-25)式；由 (ab)( b -1 a -1 )= a(bb-1 )a-1 =aa -1 =e , (b-1 a -1 )ab=b-1 (a-1 a)b=b-1 b=e 即得(1-26)式。 1.10.2 环与域 环与域都是有两个代数运算“, ”(通常称为“加法, 乘法”) 的代数系, a  b 和 a  b 简记为 a+b 和 ab 。 定义 1.28 代数系 < R: +,  > 称为环，如果 (1) < R: + > 是交换群(加法群)，其单位元记作 0； (2) < R:  > 是半群； (3) 运算 “”对“+ ”满足左、右分配律，即a, b, c R， a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 定义中的(3)是重要的，没有它，R 只是对“+”和“”分别构