σ2-=02,σ3=03,σ1l=o4,os=0s,o6-=o5。但这个置换群是不 可交换的,例如, o30 321八(132)(312 因为:σG4(1)=o3(1)=3;;(2)=G3(3)=1;o:σ(3)=03(2)=2 ≠O30 例11·四元素( Klein)克莱因群 设G={e,a.b,c},如果对于运算“。”构成一个群,并假定 是单位元,a,b,c的逆元分别是自身,则必有ab=c,这是因为 ab≠e,否则由aob=e,可推出a=b-=b ab≠a,否则由aob=a,可推出b=e aob≠b,否则由ab=b,可推出a=e 同理必有:ba=c;aoc=coa=b;boc=cob=a(运算“。”满足交换 律)。因此,关于“。”的运算如下表所示: C b a 由运算表可验证运算“。”满足结合律(验证略去),所以,这四个 元素构成一个交换群,称为克莱因群 关于群的定义1.27还需指出以下两点 (1)群的单位元是唯一的,如果e1,e2都是群G的单位元,则 (2)群的每个元的逆元也是唯一的,如果b,c都是a的逆元 则由 ab=ba=e和aoc=coa=e 即得 群的简单性质(群的运算“。”通常叫做乘法,aob简记为ab)。2 −1 =2 , 3 −1 =3 , 4 −1 =4 , 5 −1 =6 , 6 −1 =5 。但这个置换群是不 可交换的，例如， 34=         3 2 1 1 2 3         1 3 2 1 2 3 =         3 1 2 1 2 3 因为: 34(1)=3(1)=3 ; 34(2)=3(3)=1 ; 34(3)=3(2)=2 . 而 43=         =                2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 34 例 11* 四元素（Klein）克莱因群 设 G={e,a.b,c}，如果对于运算“”构成一个群，并假定 e 是单位元，a,b,c 的逆元分别是自身，则必有 ab=c，这是因为： abe，否则由 ab=e, 可推出 a=b−1 =b ; aba，否则由 ab=a, 可推出 b=e ; abb，否则由 ab=b, 可推出 a=e . 同理必有：ba=c ；ac=ca=b ；bc=cb=a (运算“”满足交换 律)。因此，关于“”的运算如下表所示：  e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 由运算表可验证运算“”满足结合律（验证略去），所以，这四个 元素构成一个交换群, 称为克莱因群 。 关于群的定义 1.27 还需指出以下两点： (1) 群的单位元是唯一的，如果 e1,e2 都是群 G 的单位元，则 e1=e1e2=e2 (2) 群的每个元的逆元也是唯一的，如果 b,c 都是 a 的逆元， 则由 ab=ba=e 和 ac=ca=e 即得 b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c 群的简单性质(群的运算“”通常叫做乘法, ab 简记为 ab)