在Z上定义加法⊕为 abb=atb 由于等价类a的代表元不是唯一的,即a=kn+a(k∈2Z),因此首先 要证明a,b不管取怎样的代表元,其运算的结果是唯一的 设a=an,b=b,则a=pn+a,b=qn+b,其中p,q∈Z, 于是 a+b=(p+g)n+(a+b) 因此,(a1+b1)=(a+b)(modn),即(a1+b)R(a+b),从而 a,+6=a+b 这就证明了加法⊕是Z上的二元运算。Zn对加法⊕显然封闭,而且 满足结合律和交换律,Zn关于⊕的单位元e=0,Zn中任一元素a的 逆元为n-a,因为, aen-a=n-aba=a+n-a=n=0=e 所以<Zn:⊕>是个交换群,叫做模n剩余类加群 容易验证:03},0,24关于⊕都构成群,所以它们都是Z的子 群。 例10*从集A到自身的所有映射(变换)A,关于映射的乘法 (合成)运算构成一个含幺半群<A,o>,其单位元为恒等映射。集A 到自身的所有双射(一一变换)E(A关于映射的乘法构成一个 群,<E(A),。称为A的一一变换群。E(A)是A的一个子群,E(A) 的子群称为变换群。例如,E2(I)={f(x)=Xa0<a∈R,x∈I=[0,1] 是区间I上的一个变换群,这个变换群是可交换的,但一般变换群 是不可交换的 例如,集X={1,2,3}到自身的一个是双射(一一变换) I I2 73 1J2J3 即σ(i)=,其中ik,i∈X,(k=1,2,3),且k≠m时,ik≠l J≠Jm 此时也把σ称为X的一个置换,也称三元置换,集X上的三 元置换共有3!个,即 213 312 我们把全体三元置换组成的集合记作S3,容易验证S3关于变换(即 映射)的乘法构成一个群,称为置换群,它的单位元为恒等置换σ1在 Zn上定义加法为 a  b = a + b 由于等价类 a 的代表元不是唯一的，即 a = kn+ a (kZ)，因此首先 要证明 a , b 不管取怎样的代表元，其运算的结果是唯一的。 设 a = a1 , b = b1 , 则 a1=pn+a, b1=qn+b, 其中 p,qZ, 于是 a1+b1=(p+q)n+(a+b) 因此，(a1+b1)(a+b)(mod n)，即 (a1+b1)R(a+b)，从而 a1 +b1 = a +b 这就证明了加法是 Zn上的二元运算。Zn对加法显然封闭，而且 满足结合律和交换律，Zn关于的单位元 e = 0 ，Zn 中任一元素 a 的 逆元为 n − a，因为， a n − a = n − a a = a + n − a = n = 0 = e 所以<Zn: >是个交换群，叫做模 n 剩余类加群。 容易验证: {0,3},{0,2,4} 关于 都构成群，所以它们都是 Z6的子 群。 例 10* 从集 A 到自身的所有映射(变换)AA，关于映射的乘法 (合成)运算构成一个含幺半群<AA , >,其单位元为恒等映射。集 A 到自身的所有双射(一一变换)E(A)关于映射的乘法构成一个 群,<E(A), >称为 A 的一一变换群。E(A)是 A A的一个子群，E(A) 的子群称为变换群。例如, Ef(I)={f(x)=X0<R, xI=[0,1]} 是区间 I 上的一个变换群, 这个变换群是可交换的，但一般变换群 是不可交换的。 例如，集 X={1,2,3}到自身的一个是双射（一一变换）         = 1 2 3 1 2 3 j j j i i i  即 (ik )=jk ,其中 ik ,jk  X, (k=1,2,3), 且 km 时，ik im， jk jm 。 此时也把  称为 X 的一个置换，也称三元置换，集 X 上的三 元置换共有 3!个，即 , 1 2 3 1 2 3 1          = , 2 1 3 1 2 3 2          = , 3 2 1 1 2 3 3          = , 1 3 2 1 2 3 4          = , 2 3 1 1 2 3 5          = , 3 1 2 1 2 3 6          = 我们把全体三元置换组成的集合记作 S3 ，容易验证 S3关于变换(即 映射)的乘法构成一个群，称为置换群，它的单位元为恒等置换 1;