换群,也称Abel群。 如果群G的子集H关于G的运算也构成群,则称H为G的子 群,记作H≤G 例1设+,·分别为数的加法和乘法,则 <Z:●>都是交换半群; <Q:·>,<R∵:·>都是交换群(其中Q是正有理数集,RR\{0)}),且 Q是R'关于乘法运算的子群;而<{1,-1}:●是仅有两个元素的交 换群。一般,仅含有限个元素的群称为有限群,否则叫无限群 例2设G=P(X)是集X的幂集,则<G:∩>,<G:∪都是含幺 半群,其中运算∪的单位元,运算⌒的单位元是X。 例3开关电路的状态集G={0,1}关于运算∧,V都构成含幺 半群。(G关于∧,封闭;满足结合律:关于运算∧,y的单位元分 别为1和0;非单位元不可逆)。 例4设G为某班学生集,运算“·”为比高矮,规定a比b 高,则a*b=b*a=a,且a*a=a(va∈G)。 运算是G的代数运算,且满足结合律,运算的单位元为最矮的 学生,因此G关于该运算构成含幺半群 例5设G={1,2,…,12},在G上定义时钟加法⊕为 b.a+b≤12 la+b-12,a+b≥l3 则<G⊕是交换群(G关于运算⊕封闭,运算满足结合律和交换律, G关于⊕的单位元e=12,小于12的任何元素a的逆元为12-a, 例6设R是全体空间几何向量组成的集合,则R3对于向量 的加法构成一个交换群。其中单位元ε为零向量,任一向量α的 逆元为 例7集合R同上,在其中定义二元运算*为:a*B表示a 在β上的投影向量。显然R关于该运算封闭,但运算不 满足结合律, B)*y=00,*y=OP (阝*y)=a*OO2 般OP≠O,所以R关于这个运算不构成一个半群 例8设RX]={aoax+a2x1a,a,a∈R;R[Ⅺ]是由所有实系 数多项式组成的集合,则它们关于多项式的加法都构成交换群,单 位元e都是零多项式对于多项式乘法,RⅨX]是含幺半群(其单位元 e=1);而R[X]不是半群,因为它关于乘法不封闭 例9°设Zn是Z关于模n同余关系的商集,即 Z=Z/R={0.1…,n-1}换群，也称 Abel 群。 如果群 G 的子集 H 关于 G 的运算也构成群，则称 H 为 G 的子 群，记作 HG. 例 1 设 + , • 分别为数的加法和乘法，则<N: +>, <N: •>, <Z: •>都是交换半群； <Q+ : •>, <R* : •>都是交换群(其中 Q +是正有理数集, R* =R\{0}) , 且 Q +是 R *关于乘法运算的子群; 而<{1,−1}: •>是仅有两个元素的交 换群。一般，仅含有限个元素的群称为有限群，否则叫无限群。 例 2 设 G=P(X) 是集 X 的幂集，则<G: >, <G: >都是含幺 半群，其中运算的单位元, 运算的单位元是 X。 例 3 开关电路的状态集 G = {0,1}关于运算 ,  都构成含幺 半群。（G 关于, 封闭；满足结合律；关于运算 , 的单位元分 别为 1 和 0；非单位元不可逆）。 例 4 设 G 为某班学生集，运算“*”为比高矮，规定 a 比 b 高，则 a * b = b* a = a，且 a* a = a （a  G）。 运算是 G 的代数运算，且满足结合律，运算的单位元为最矮的 学生，因此 G 关于该运算构成含幺半群。 例 5 设 G={1, 2,…, 12}，在 G 上定义时钟加法为 ab =    + − +  + +  12, 13 , 12 a b a b a b a b 则<G; >是交换群（G 关于运算封闭，运算满足结合律和交换律， G 关于的单位元 e =12 , 小于 12 的任何元素 a 的逆元为 12−a , e −1= e）。 例 6 设 R 3是全体空间几何向量组成的集合，则 R 3对于向量 的加法构成一个交换群。其中单位元 e 为零向量，任一向量  的 逆元为 −。 例7 集合 R 3 同上，在其中定义二元运算为： 表示  在上的投影向量。显然 R 3关于该运算封闭，但运算不 满足结合律， (   )  =OQ1   =OP1   (  )=   OQ2 =OP2 一般 OP1  OP2 ，所以 R 3关于这个运算不构成一个半群。 例 8 设 R[X]3 ={a0+a1x+a2x 2  a0,a1,a2R}; R[X]是由所有实系 数多项式组成的集合，则它们关于多项式的加法都构成交换群，单 位元 e 都是零多项式,对于多项式乘法, R[X] 是含幺半群(其单位元 e = 1)；而 R[X]3不是半群，因为它关于乘法不封闭。 例 9 * 设 Zn是 Z 关于模 n 同余关系的商集，即 Zn = Z/R = {0,1,  ,n −1},        P1 P2 Q2 Q1 o