第五讲群环域 HWS-P5751(2),54,56,59,60,64 EX551(1)(3),57,58,66,补11 复习P41-=51,预习P64-75 重点:1.半群,群,交换群的定义,性质,例子;2环,域的定义, 性质,例子。 1-10基本代数结构——群、环、域的基本概念 非空集Ⅹ上定义的若干代数运算f1,…,f组成的系统称为代数 系统(简称代数系),记作<X:f,…,f>。代数系统的数学结构是由 其运算性质决定的。集不同,代数运算方法不同,但运算的性质却 有可能相同。如代数系统<Z:+>与<R{(O}:·有以下相同的 性质 (1)加法和乘法都满足结合律和交换律; (2)彐0∈Z,使k∈Z,均有0+k=k;彐1∈R\{0},使va∈R 均有1a=a.这里0和1分别称为加法和乘法的单位元 (3)Vk∈Z,3-k∈Z,使得k+(-k)=0(0是加法单位元) k叫做k关于加法的逆元 va∈R{0},彐a-l=1/a∈R{0},使得a·a-l=1(1是乘法 单位元)。a1叫做a关于乘法的逆元。 这些性质的共同点概括起来为:(1)运算满足结合律和交换律 (2)集合关于运算存在单位元;(3)集合中每个元素关于运算都有 逆元。具有上述性质的代数系统称为“交换群”。 1.10.1半群和群 在19世记30年代,年青的法国数学家伽罗瓦( Galois)开创性 地用群论方法建立了方程的可解性理论,群论的发现使代数的研究 进入了新时代,从局部性研究转向整体结构的分析研究。 群是具有一个代数运算的代数系统。 定义1.27代数系统<G>称为群,如果: (1)运算“。”满足结合律,即va,b,c∈G,ao(boc)=(aob)oc (2)G关于运算“。”存在单位元,即彐eeG,使va∈G,有 ao e=eo a=a, (3)va∈G,a关于“。“有逆,即彐b∈G使得ab=ba=e(单位 元),并称a为可逆元,b为a的逆元,记作b=a-1 当<G。o>满足结合律时,称为半群;存在单位元的半群,称为 含么半群。运算满足交换律的群,即va,b∈G,有ab=boa,称为交第五讲群环域 HW5-P57—51(2)，54, 56, 59, 60, 64 EX5—51(1),(3), 57, 58, 66, 补 11 复习 P41-=51,预习 P64-75 重点：1.半群，群，交换群的定义，性质，例子；2.环，域的定义， 性质，例子。 1-10 基本代数结构 —— 群、环、域的基本概念 非空集 X 上定义的若干代数运算 f1,,fk组成的系统称为代数 系统(简称代数系), 记作< X: f1,,fk >。代数系统的数学结构是由 其运算性质决定的。集不同，代数运算方法不同，但运算的性质却 有可能相同。如代数系统 < Z: + > 与 < R\{0}：•> 有以下相同的 性质： (1) 加法和乘法都满足结合律和交换律； (2)  0Z, 使 kZ, 均有 0 + k = k ;  1 R\{0}, 使 aR 均有 1•a = a. 这里 0 和 1 分别称为加法和乘法的单位元； (3) kZ ,  − k Z， 使得 k + (−k) = 0 （0 是加法单位元）， − k 叫做 k 关于加法的逆元 ; a R\{0} , a −1 =1 / a R\{0}, 使得a • a −1 =1 (1是乘法 单位元)。a −1 叫做 a 关于乘法的逆元。 这些性质的共同点概括起来为：(1) 运算满足结合律和交换律； (2) 集合关于运算存在单位元；(3) 集合中每个元素关于运算都有 逆元。具有上述性质的代数系统称为“交换群”。 1.10.1 半群和群 在 19 世记 30 年代，年青的法国数学家伽罗瓦(Galois)开创性 地用群论方法建立了方程的可解性理论，群论的发现使代数的研究 进入了新时代，从局部性研究转向整体结构的分析研究。 群是具有一个代数运算的代数系统。 定义 1.27 代数系统<G:>称为群，如果： (1) 运算“”满足结合律，即 a, b, c  G, a (b c) = (a b)  c ; (2) G 关于运算“”存在单位元，即  eG , 使aG, 有 a e = e a = a ; (3) aG, a 关于““有逆，即  bG 使得 ab=ba=e(单位 元)，并称 a 为可逆元，b 为 a 的逆元，记作 b= a−1 . 当<G:> 满足结合律时，称为半群；存在单位元的半群，称为 含么半群。运算满足交换律的群，即a, bG,有 ab = ba , 称为交