多值函数解析延拓『函数 复变函数与实变函数的重要区别之一就是涉及多值函数这一概念。 回顾在复变函数定义中的表述 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值二=x+i 按照一定的规律,有一个或多个复数值w=u+iv与之相对应 因此,可以是多个复数值与一个自变量值相对应,这就是多值函数 最简单的多值函数例子是根式函数,如平方根 人们不能像实变函数的平方根那样规定只取算术根作为平方根函数。理由很简单 对实变函数,当实自变量离开某点之后又返回该点时,平方根的函数值必然返回到原来的值 对复变函数,平方根的函数值是否回原来的值,与自变量离开再返回起点的路径有关 参见下一节的详细分析)。因此不能规定只取单一个函数值 多值函数不仅带来复杂性,还带来一定的混乱。最简单的例子是伯努利诡论 2 Ln(-=)=2 Ln= Ln(-==Ln: eLn(-=eln:=--=3 现在知道,该诡论的错误之处在于没有考虑到函数的多值性 实际上:Lnz+Lnx≠2Lnx,因为Ln是多值函数,函数值对应于一个集合(而不是单一个数),因而 Lnz+Ln为两个集合的并(和集),当然不会等于一个集合中的每一个元素都乘于2。 前面介绍的复变函数的导数、解析等概念,都是基于单值函数而言。 那么,对于多值函数,如何推广? 51多值函数及其 Riemann面 实际上,对多值函数,在能唯一确定其函数值之前,难以引入导数、解析等概念 因此,对多值函数,需要先确定函数值。而确定了函数值之后,则可以应用单值函数的概念与性质 确定多值函数的函数值,需要三个步骤:枝点,割线,上下岸。下称为三要素。 ■枝点:绕其一周回到出发点时,函数w=f()的值发生改变,称之为函数f(x)的枝点 函数之所以会出现多值,是因为在复平面上,当自变量离开某点, 在复平面上经一条闭合路径,回到原出发点时,函数值可能发生改变。例如 √=√c,其中e为=的辐角,即:e=arg5 多值函数 解析延拓 Γ函数 复变函数与实变函数的重要区别之一就是涉及多值函数这一概念。 回顾在复变函数定义中的表述： 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值 z = x +  y， 按照一定的规律 ，有一个或多个复数值 w = u +  v 与之相对应 。 因此，可以是多个复数值与一个自变量值相对应，这就是多值函数。 最简单的多值函数例子是根式函数，如平方根。 人们不能像实变函数的平方根那样规定只取算术根作为平方根函数。理由很简单： 对实变函数 ，当实自变量离开某点之后又返回该点时 ，平方根的函数值必然返回到原来的值 。 对复变函数 ，平方根的函数值是否回原来的值 ，与自变量离开再返回起点的路径有关 （参见下一节的详细分析 ）。因此不能规定只取单一个函数值 。 多值函数不仅带来复杂性，还带来一定的混乱。最简单的例子是伯努利诡论： (-z)2 = z2 ⟹ Ln(-z)2 = Ln z2 ⟹ Ln(-z) + Ln(-z) = Ln z + Ln z ⟹ 2 Ln(-z) = 2 Ln z ⟹ Ln(-z) = Ln z ⟹ Ln(-z) = Ln z ⟹ -z = z 现在知道，该诡论的错误之处在于没有考虑到函数的多值性。 实际上：Ln z + Ln z ≠ 2 Ln z，因为 Ln z 是多值函数，函数值对应于一个集合（而不是单一个数），因而 Ln z + Ln z 为两个集合的并 （和集），当然不会等于一个集合中的每一个元素都乘于 2。 前面介绍的复变函数的导数、解析等概念，都是基于单值函数而言。 那么，对于多值函数，如何推广？ 5.1 多值函数及其Riemann面 实际上，对多值函数，在能唯一确定其函数值之前，难以引入导数、解析等概念。 因此，对多值函数，需要先确定函数值。而确定了函数值之后，则可以应用单值函数的概念与性质。 确定多值函数的函数值，需要三个步骤：枝点，割线，上下岸。下称为三要素。 ◼ 枝点：绕其一周回到出发点时，函数 w = f (z) 的值发生改变，称之为函数 f (z)的枝点。 函数之所以会出现多值 ，是因为在复平面上 ，当自变量离开某点 ， 在复平面上经一条闭合路径 ，回到原出发点时 ，函数值可能发生改变 。例如： w = z 定义 z  θ/2, 其中 θ 为 z 的辐角，即：θ = arg z