2205a.nb 如图,从A点出发,沿绿色闭合线走一周回A点 z的辐角θ不变,因而函数值w回到原来的数值 司样出发于A点,沿白色线走一周返到A点 辐角θ增加了2π,(行走过程辐角θ始终增加) 函数值w 不回到原来的数值 即:沿某些闭路回起始点,函数值会发生改变, 而对另外一些闭路径,函数值不变 为此,引进枝点概念区分不同的路径 上例中,z=0是函数w=V=的枝点,因为绕z=0行走一周后回到出发点,函数值发生改变 如何找出多值函数的枝点 基于定义:在枝点邻域绕行一周回到出发点,函数值发生改变。 ▲利用(实变函数的)求导法则对函数求导,导函数的奇点通常(很可能)是原函数的枝点, 当然要再对这些候选点利用枝点的定义进行判断。 z=0为w的奇点,故它可能是w的枝点,再利用枝点的定义判断 ▲与判断奇点和求留数类似,判断枝点时,别忘了绕无穷远一周判断无穷远点是否枝点 ▲一个多值函数,枝点通常多于一个 ▲若绕一周改变函数值,绕两周返回原函数值,则称为一阶枝点,绕n周回原函数值,则称为n-1阶枝点。 ▲枝点是奇点,因为枝点0是不同单值分支的公共点,〓从不同单值分支趋于0 因不同单值分支的函数值/)不同,导致极限值m(-不同 也即:极限与二趋于=0的方式有关,导数不存在—奇点 更简单的理解是:直接趋于〓0和绕〓折腾几周再趋于ˉ,接近时∫(=)不同,极限值不同,导数不存在 ■割线:连接(所有)枝点的直线或曲线 所做的割线应满足:每一个枝点都有割线连出,并且割线只能起始、终止于枝点 做完割线之后,在复平面内,任何路径都不可能不穿过割线而绕枝点一周 因此,若规定任何路径均不可穿过割线,就不存在绕枝点的路径,因而函数值就能唯一确定了。 ▲也可这样理解,当路径到达割线并继续延续时,就进入函数的另一个单值分支 进入另一个复平面,这些复平面通过割线相粘接,构成多叶 Riemann面。 ▲作完割线后,函数尽管是单值的(在复平面内任意行走,只要不穿过割线,回到出发点时,函数值还原) 但是尚不能确定是取多值集合中的哪一个函数值,因此还需要下一步 ■上下岸辐角:定义割线上岸或下岸的辐角,或者给定函数在某点的函数值 对多值函数,割线上(下)岸的辐角定义可以不同,相应的,函数值也不同 这称为选取多值函数的不同单值分支。 ■除了上述三要素之外,还有一种方法可确定函数值 即:给定某一点的函数值以及从该点出发到达任意一点的路径 即使做好割线并定义上下岸辐角值,在枝点,导数依然不存在。实际上,由于在割线的两岸函数不连续,枝点甚至 不是孤立奇点如图，从 A 点出发，沿绿色闭合线走一周回 A 点 z 的辐角 θ 不变，因而函数值 w 回到原来的数值 同样出发于 A 点，沿白色线走一周返到 A 点， 辐角 θ 增加了 2 π，（行走过程辐角 θ 始终增加） 函数值 w ⟹ -w，不回到原来的数值 即：沿某些闭路回起始点 ，函数值会发生改变 ， 而对另外一些闭路径 ，函数值不变 。 为此，引进枝点概念区分不同的路径 。 x y A θ 上例中， z = 0 是函数 w = z 的枝点，因为绕 z = 0 行走一周后回到出发点 ，函数值发生改变 。  如何找出多值函数的枝点： ▲ 基于定义：在枝点邻域绕行一周回到出发点，函数值发生改变。 ▲ 利用（实变函数的）求导法则对函数求导，导函数的奇点通常（很可能）是原函数的枝点， 当然要再对这些候选点利用枝点的定义进行判断 。 w = z , w′ = 1 2 z , z = 0 为 w′ 的奇点，故它可能是 w 的枝点，再利用枝点的定义判断 。 ▲ 与判断奇点和求留数类似，判断枝点时，别忘了绕无穷远一周判断无穷远点是否枝点。 ▲ 一个多值函数，枝点通常多于一个。 ▲ 若绕一周改变函数值，绕两周返回原函数值，则称为一阶枝点，绕 n 周回原函数值，则称为 n - 1 阶枝点。 ▲ 枝点是奇点，因为枝点 z0 是不同单值分支的公共点， z 从不同单值分支趋于 z0， 因不同单值分支的函数值 f (z) 不同，导致极限值 lim zz0 f (z) - f (z0) z - z0 不同 也即：极限与 z 趋于 z0 的方式有关 ，导数不存在 —— 奇点 更简单的理解是 ：直接趋于 z0 和绕 z0 折腾几周再趋于 z0 ，接近 z0 时 f (z) 不同，极限值不同 ，导数不存在 。 ◼ 割线：连接（所有）枝点的直线或曲线 所做的割线应满足 ：每一个枝点都有割线连出 ，并且割线只能起始 、终止于枝点 。 做完割线之后 ，在复平面内 ，任何路径都不可能不穿过割线而绕枝点一周 。 因此，若规定任何路径均不可穿过割线 ，就不存在绕枝点的路径 ，因而函数值就能唯一确定了 。 ▲ 也可这样理解，当路径到达割线并继续延续时，就进入函数的另一个单值分支， 进入另一个复平面 ，这些复平面通过割线相粘接 ，构成多叶Riemann面 。 ▲ 作完割线后，函数尽管是单值的（在复平面内任意行走，只要不穿过割线，回到出发点时，函数值还原）， 但是尚不能确定是取多值集合中的哪一个函数值 ，因此还需要下一步 。 ◼ 上下岸辐角：定义割线上岸或下岸的辐角，或者给定函数在某点的函数值。 ▲ 对多值函数，割线上（下）岸的辐角定义可以不同，相应的，函数值也不同。 这称为选取多值函数的不同单值分支 。 ◼ 除了上述三要素之外，还有一种方法可确定函数值： 即：给定某一点的函数值以及从该点出发到达任意一点的路径 。 ◼ 即使做好割线并定义上下岸辐角值，在枝点，导数依然不存在。实际上，由于在割线的两岸函数不连续，枝点甚至 不是孤立奇点。 2 z05a.nb