z05anb 3 理解:例如函数w=v==r2e2,6=arg 做割线为从原点沿正实轴到无穷远 在二≠0的任意一点A 无论怎么折腾,只要不穿过割线 趋于A点时,辐角62=arg=没有变 函数值w的辐角Bn=argw也不变。 但对于原点(是枝点), 沿上岸接近原点与绕到下岸接近原点 (如图黄蓝线)6=arg=分别是0和2r 函数值的辐角B分别为:0与丌 不同的辐角B对函数值本身可能没有影响(模趋于0),但对函数的变化率可能产生影响 也即:以不同方式→0,变化率的极限值可能不同。因而枝点被认为导数不存在,是奇点 以下通过例题说明枝点、割线、上下岸等概念。 例题:讨论多值函数w=f()=y=2-1 解:据函数的定义:W=√=2-1=v-+Ⅱc确n,B1=ag(-1,2=ag(+1) 61=arg(2-1)等于从1到=的矢量与实轴正向的夹角 B2=arg(z+1)=arg-(-1)为从-1到z的矢量与实轴正向的夹角 要确定函数值,需要三要素:枝点、割线、上下岸。 w=√2-1=V-1+e(+,61=arg(=-1),b2=arg(+1) 枝点:试着求导:w′= 故〓=±1可能是枝点,同时别忘了判断 在〓=1邻域绕〓=1逆时针一周回出发点,6增加了2π,B2不变,w≡-1,是枝点 绕二=-1逆时针一周回出发点,的1不变,B2增加了2丌,w=-w,也是枝点 在〓=∞邻域绕〓=∞逆时针一周回出发点,的1增加了2丌,的也增加了2π,w不变,不是枝点 故:函数w=√=-1有两个枝点:=±1 割线:连接枝点(保证每一个枝点都有割线连出),为简单起见,取直线 可以选直接连接z=±1的直线,如左图紫色线段, 也可以为从〓=1,经无穷远点再到达=-1的直线,如右图蓝色的直线 上(下)岸:指定辐角值 左图,割线取为连接z=±1的直线, 62=0,2x,组合成4种情况,但(1+)了3n5 上岸:f61=兀,3r 只给出两种不同的函数值理解：例如函数 w = z = r1/2  θ/2，θ = arg z 做割线为从原点沿正实轴到无穷远 在 z ≠ 0 的任意一点 A， 无论怎么折腾 ，只要不穿过割线 趋于 A 点时，辐角 θz = arg z 没有变 函数值 w 的辐角 θw = arg w 也 不变。 但对于原点 （是枝点）， 沿上岸接近原点与绕到下岸接近原点 （如图黄蓝线 ） θz = arg z 分别是 0 和 2 π 函数值的辐角 θw 分别为：0 与 π A x y 不同的辐角 θw 对函数值本身可能没有影响 （模趋于 0），但对函数的变化率可能产生影响 也即：以不同方式  0，变化率的极限值可能不同 。因而枝点被认为导数不存在 ，是奇点。 以下通过例题说明枝点、割线、上下岸等概念。 ☺ 例题：讨论多值函数 w = f (z) = z2 - 1 。 解：据函数的 定义：w = z2 - 1 = z - 1 z + 1  (θ1+θ2)/2, θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) θ1 = arg(z - 1) 等于从 1 到 z 的矢量与实轴正向的夹角 ； θ2 = arg(z + 1) = arg[z - (-1)] 为从 -1 到 z 的矢量与实轴正向的夹角 ； x y θ2 θ1 -1 1 上岸 下岸 x y θ2 θ1 -1 1 上岸 要确定函数值 ，需要三要素 ：枝点、割线、上下岸。 w = z2 - 1 = z - 1 z + 1  (θ1+θ2)/2, θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) 枝点：试着求导：w′ = 2 z z2 - 1 , 故 z = ±1 可能是枝点 ，同时别忘了判断 z = ∞ 在 z = 1 邻域绕 z = 1 逆时针一周回出发点 ，θ1 增加了 2 π，θ2 不变，w ⟹ -w, 是枝点； 绕 z = -1 逆时针一周回出发点 ，θ1 不变，θ2 增加了 2 π，w ⟹ -w, 也是枝点； 在 z = ∞ 邻域绕 z = ∞ 逆时针一周回出发点 ，θ1 增加了 2 π，θ2 也增加了 2 π，w 不变，不是枝点。 故：函数 w = z2 - 1 有两个枝点 z = ±1。 割线：连接枝点 （保证每一个枝点都有割线连出 ），为简单起见 ，取直线。 可以选直接连接 z = ±1 的直线，如左图紫色线段 ， 也可以为从 z = 1，经无穷远点再到达 z = -1 的直线，如右图蓝色的直 线 上 （下） 岸：指定辐角值 如左图，割线取为连接 z = ±1 的直线， 上岸： θ1 = π，3 π θ2 = 0, 2 π ， 组合成 4 种情况，但 (θ1 + θ2) 2 = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 只给出两种不同的函数值 z05a.nb 3