§3.3复连通区域的 Cauchy定理 复连通区域的 Cauchy定理如果f(z)是复连通区域z中的单值解析函数,则 (=∑ f(z)d 其中C,C1,C2,…,Cn是例成复连通区域石的边界的各个分段光滑闭合曲线,C1,C2,…,Cn都包 含在Co的内部,而且所有的积分路径由向果同 0 图36复连通区域的 Cauchy 证如图3.6,不妨取Co,C1,C2,……,Cn均为逆时针方向.作适当的割线把C1,C Co连结起,从而得,一个单连通区域G,f(z)在单连通区域G内是解析的,因而可以应用单 连通区域的 Cauchy定理 f(a)dz+ f(a)dz+ f(a)dz+/f(a)d f(a)dz+ f(a)dz+/f(a)dz+ f(a)dx+ f(a)dz+ f(a)dz=0 由于f(z)在内单值,故沿同一割线两岸的积分值解果抵消 f(2)d+/f(2)dz=0 所以 f()d2+∑df()d=0 1) dk=-)(=k. (32)Wu Chong-shi rst ✉ ✈ ✇ ① ② 7 ③ §3.3 ✏❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ ➧➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P f(z) ✘✔❙➶➈➉ G ❭✢➪ ❈➹➘★✙✧❆ I C0 f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz, ❬ ❭ C0, C1, C2, · · · , Cn ✘④❫✔❙➶➈➉ G ✢Ð❝✢⑤ ● ✗ ✲◗❘➷▼ ✦✣✧ C1, C2, · · · , Cn ❩ û ü ✩ C0 ✢ ý⑥ ✧ì❀÷✪✢✖✗st⑦ ❵P②✤ ❋ 3.6 ➼➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ Ü ❖ ✃ 3.6 ✧①⑧❃ C0, C1, C2, · · · , Cn ô✱❴✻⑨ñ ❵✤✵⑩✸✢✰✣✭ C1, C2, · · · , Cn ✶ C0 ❙❪ Þ◆ ✧✍ì✺✧ ✴●➪❙➶➈➉ G0 ✧ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G0 ý ✘➹➘✢✧◆ì ❰Ïèé➪ ❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀✧ I C0 f(z) dz + Z b1 a1 f(z) dz + I C − 1 f(z) dz + Z a1 b1 f(z) dz + Z b2 a2 f(z) dz + I C − 2 f(z) dz + Z a2 b2 f(z) dz + · · · + Z bn an f(z) dz + I C − n f(z) dz + Z an bn f(z) dz = 0. ⑦❥ f(z) ✩ G0 ý➪❈✧õ❉ ② ✴ ✰✣❏❶✢✖✗❈❷P❸❹✧ Z bi ai f(z) dz + Z ai bi f(z) dz = 0. ÷ Ï I C0 f(z) dz + Xn i=1 I C − i f(z) dz = 0, (3.1) I C0 f(z) dz = − Xn i=1 I C − i f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz. (3.2)