所以,[1(2)-2(2)=0, 重1(2)-更2(2)=C. 知道了被积函数的原函数,可使复变积分的计算大为简化.设(2)为f(2)的一个原函数,则 f(2)的不定积分 ()= f(2)dz=更(z)+C. 但是,显然有 F(0)=更(20)+C 所以 f(x)dz=(x)-画(20) 例32计算积分/zdz,n为整数 解当n为自然数时,2在全平面解析,7+>+是它的一个原函数因此,对于2平面 上的任意一条积分路线,均有 b+1-a+1 2,-3,-4,…时,z在不包含z=0点在内的任意一个单连通区域内解析,其原函数 仍可取为 因此,仍有 ndz 但由于下一节例3的原因,此结果对于不包含z=0点在内的任意区域均成立 当n=-1时,z-1也是在不包含z=0在内的任一区域内解析,但其原函数应为lnz.因此, 在不包含z=0的任一单连通区域内, In=ln a 需要特别注意,在一个单连通区域内,上面的积分当然与路径无关.但是对于不同的单连通 区域,同样的起点与终点也还会给出不同的积分值,从计算的过程看,这里的原函数是多值函数, 因此积分值与由a变化到b的方式有关,当限制在不含z=0的一个单连通区域内时,就是把lz 限制在某一个单值分枝内,故积分值lnb-lna是唯一确定的.而对于不同的单连通区域,就可能 对应于lz的不同单值分枝,因而积分值也就可能不同Wu Chong-shi §3.2 ÔÕÖ×ØÙ Cauchy ÚÛ ✞ 6 ✟ ÷ Ï ✧ Φ1(z) − Φ2(z) 0 = 0 ✧ Φ1(z) − Φ2(z) = C. ❘➮✒ ❦ ✖★✙✢▼★✙✧❰ ✹✔✕✖✗✢❙❚❯✱Ýî✤✥ Φ(z) ✱ f(z) ✢ ✴●▼★✙✧❆ f(z) ✢①✫✖✗ F(z) = Z z z0 f(z) dz = Φ(z) + C. ❱✘✧❢❣✪ F(z0) = Φ(z0) + C = 0, C = −Φ(z0). ÷ Ï Z z z0 f(z) dz = Φ(z) − Φ(z0). ④ 3.2 ❙❚✖✗ Z b a z ndz ✧ n ✱❲✙✤ ❷ ✸ n ✱ ❳❣✙ ✻ ✧ z n ✩❨ ✚✛➹➘✧ 1 n + 1 z n+1 ✘✥✢ ✴●▼★✙✤◆✼✧✉❥ z ✚✛ ✜✢✮✯✴á✖✗s✣✧ô✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ✸ n = −2, −3, −4, · · · ✻ ✧ z n ✩ ①ûü z = 0 ✳ ✩ ý✢ ✮✯✴●➪❙➶➈➉ ý ➹➘✧❬▼★✙ ❩ ❰ ❃✱ 1 n + 1 z n+1 ✤◆✼✧❩✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ❱ ⑦❥q✴❬❭ 3 ✢▼◆✧✼❪P✉❥①ûü z = 0 ✳ ✩ ý✢ ✮✯➈➉ô❫✦✤ ✸ n = −1 ✻ ✧ z −1 ❮ ✘ ✩ ①ûü z = 0 ✩ ý✢ ✮✴➈➉ ý ➹➘✧❱❬▼★✙ è ✱ ln z ✤◆✼✧ ✩ ①ûü z = 0 ✢ ✮✴➪❙➶➈➉ ý ✧ Z b a dz z = ln b − ln a. ❴ö✓➊❵ ✯ ✧ ✩✴●➪❙➶➈➉ ý ✧✜✛✢✖✗✸❣❁st❄❅✤❱✘ ❛➥☞ ❜➠➙➭➯ ➒➓✧❜❝➠❞➡❡❢➡✟❣❤✐ ❥☞ ❜➠✝✞✗ ✤✍❙❚✢❦ ò❧ ✧❐❒✢▼★✙✘♠❈★✙✧ ◆✼✖✗❈❁ ⑦ a ✕î✧ b ✢ ñë✪❅✤✸✾♥ ✩ ①ü z = 0 ✢ ✴●➪❙➶➈➉ ý✻✧❑✘✭ ln z ✾♥ ✩♦✴●➪❈✗♣ ý ✧õ✖✗❈ ln b − ln a ✘❖ ✴q ✫✢✤ì✉❥①②✢➪ ❙➶➈➉✧❑ ❰ ú ✉ è ❥ ln z ✢①②➪ ❈✗♣✧◆ì✖✗❈❮ ❑ ❰ ú①②✤