也在G内解析,并且 F()=a:/f(a)d=f( 证只要直接求出F(z)的导数即可 图35 为此,设z是G内一点,z+△z是它的邻点,如图35,则 F(2) f()d,F(z+△z) f(sdc 因为积分与路径无关,所以 AFF(z+△2)-F(z) +△z f(s)ds. 由此可得 2+△z 42-/(2) f()d-f(x2) +△2 f()-f(2)|·|d 由于f(x)是连续的,故对于任给的∈>0,存在δ>0,使当-2<δ时,|f()-f(2)<ε,所以 △F f(a 团/42|= 即得 △F △z-0△z 这就证明了F(2)在G内可导,并且F(2)=f(2),口 原函数如果函数更(2)的导数更(2)=f(2),则更()称为f(2)的原函数.上面定义的f(x) 的不定积分就是f(2)的一个原函数.对于给定的一个函数f(2)来说,原函数不是唯一的.任意两 个原函数之间只相差一个常数.这是因为,如果更1(2)与更2(2)都是f(x)的原函数,则 中1(2)=f(2),亟2(2)=f(2)Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 5 ✟ ❮✩ G ý ➹➘✧❋❀ F 0 (z) = d dz Z z z0 f(z) dz = f(z). Ü ùö ❶●⑤❍ F(z) ✢■✙♦❰ ✤ ❋ 3.5 ✱✼✧✥ z ✘ G ý✴✳✧ z + ∆z ✘✥✢❏✳✧❖✃ 3.5 ✧❆ F(z) = Z z z0 f(ζ) dζ, F(z + ∆z) = Z z+∆z z0 f(ζ) dζ. ◆✱✖✗❁st❄❅✧÷Ï ∆F ∆z = F(z + ∆z) − F(z) ∆z = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ. ⑦✼❰ ✺     ∆F ∆z − f(z)     =      1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ − f(z)      =      1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) − f(z) dζ      ≤ 1 |∆z| Z z+∆z z  f(ζ) − f(z)   ·   dζ   . ⑦❥ f(z) ✘❙❚✢✧õ✉❥✮ ✈✢ ε > 0 ✧✿ ✩ δ > 0 ✧✹✸ |ζ − z| < δ ✻ ✧ |f(ζ)− f(z)| < ε ✧÷ Ï     ∆F ∆z − f(z)     ≤ 1 |∆z| · ε · |∆z| = ε, ♦✺ F 0 (z) = lim ∆z→0 ∆F ∆z = f(z). ❐❑ã ä✒ F(z) ✩ G ý❰■✧❋❀ F 0 (z) = f(z) ✤ ▲✬✭ ❖P★✙ Φ(z) ✢■✙ Φ 0 (z) = f(z) ✧❆ Φ(z) ❇✱ f(z) ✢▼★✙✤✜✛✫✬✢ f(z) ✢①✫✖✗❑✘ f(z) ✢ ✴●▼★✙✤✉❥✈✫✢✴●★✙ f(z) ◆ ø✧▼★✙①✘❖ ✴ ✢✤✮✯❏ ● ▼★✙➃➄ùP◗✴●❜✙✤❐✘◆✱✧❖P Φ1(z) ❁ Φ2(z) ❩ ✘ f(z) ✢▼★✙✧❆ Φ 0 1 (z) = f(z), Φ0 2 (z) = f(z).