证为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理.附加的条件是f(z)在G中连续 在此条件下可以应用 Green公式 [P(r, y)dz +Q(r, y)dy aQ aP f(a)dz= [udz-vdy]+if [udr+udy 而将上面的闭合围道积分化为面积分 dr dy 根据 Cauchy- Riemann方程,右端两个积分中的被积函数均为0,故有 f(2)dz=0.口 由于Gre公式的要求,这里所说的单连通区域,只能是一个有界区域,即不能是包含∞点 在内的(无界)区域.即使∫(2)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0 Cauchy定理从一个侧面反映了解析函数的一个基本特性:解析函数在它的解析区城内,各 点的函数值是密切相关的 · Cauchy- Riemann方程是这种关联的微分形式, · Cauchy定理则是它的积分形式 由 Cauchy定理立即可以得到下面的推论 推论若∫(x)在单连通区域可中解析,则复变积分/f()d2与路径无关 (解析函数的)不定积分既然在单连通区域中解析函数的积分与路径无关,因此,如果固定 起点20,而令终点z为变点,则作为积分上限的函数 是单连通区域G内的单值函数,称为f(2)的不定积分 定理31如果函数f(x)在单连通区域G内解析,则 F(a)= f(a)da ①只要∫(2)在G中解析,即f(z)存在,则∫"(z)也存在,z∈G,因而∫(z)连续,即四个偏导数au/ax,ou/ay,e/or 和av/0y连续 见第四讲Wu Chong-shi §3.2 ÔÕÖ×ØÙ Cauchy ÚÛ ✞ 4 ✟ Ü ✱Ý➪Þ➱✧q✛✩ßà✢áâqã ä❐● ✫➀✤åæ✢áâ✘ f 0 (z) ✩ G ❭❙❚ ç ✤ ✩ ✼áâq❰Ïèé Green êë I C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = Z Z S  ∂Q ∂x − ∂P ∂y  dx dy ❥ I C f(z) dz = I C u dx − v dy + i I C v dx + u dy , ìí✜✛✢➷▼ ➬➮✖✗î✱✛✖✗ I C ￾ u dx − v dy
= − ZZ S  ∂v ∂x + ∂u ∂y  dx dy, I C ￾ v dx + u dy
= ZZ S  ∂u ∂x − ∂v ∂y  dx dy. ïð Cauchy-Riemann ñò✧ó❧ ❏ ● ✖✗ ❭✢❦ ✖★✙ô✱ 0 ✧õ✪ I C f(z) dz = 0. ⑦❥ Green êë✢ö⑤ ✧❐❒÷ø✢➪ ❙➶➈➉✧ùú✘ ✴●✪❝➈➉✧♦①ú✘ûü ∞ ✳ ✩ ý✢ (❄❝) ➈➉✤ þÿ f(z) ➑ ∞ ➡￾✁✧✂✄ ∞ ➡☎✆➠✝✞✟✠ ✡☛☞✌ 0 ✤ Cauchy ✫➀✍ ✴●✎ ✛✏✑✒➹➘★✙✢✴●❯❱✓❲❨ ￾✁✔✕➑✂➠￾✁ ➒➓ ➟✧✖ ➡➠✔✕✗✘ ✙✚✛ ✜➠✤ • Cauchy-Riemann ñò✘❐➋❅✢✢✣✗✤ ë ✧ • Cauchy ✫➀❆✘✥✢✖✗✤ ë ✤ ⑦ Cauchy ✫➀✦♦ ❰Ï✺✧q✛✢★➂❨ ✩✪ ✷ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆✔✕✖✗ Z C f(z) dz ❁st❄❅✤ (❷✫✬✭➽) ✮➾✯✰ ✱ ❣ ✩➪❙➶➈➉ ❭➹➘★✙✢✖✗❁st❄❅✧◆✼✧❖P ✇✫ Þ ✳ z0 ✧ì✲✳✳ z ✱✕✳✧❆✵✱✖✗✜✾✢★✙✧ Z z z0 f(z) dz = F(z) ✘ ➪ ❙➶➈➉ G ý ✢ ➪ ❈★✙✧❇✱ f(z) ✢①✫✖✗✤ ➾➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ý ➹➘✧❆ F(z) = Z z z0 f(z) dz ç ✴✵ f(z) ✶ G ✷✸✹✺✻ f 0 (z) ✼✶✺✽ f 00(z) ✾✼✶✺ z ∈ G ✺ ✿❀ f 0 (z) ➳❁✺✻❂❃❄❅❆ ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x ❇ ∂v/∂y ➳❁❈ ❉ ✞❂❊