定理7设是一个σ-代数.则 (1)∈分,X∈ (2)牙对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭 证明由于 An=A1∪…∪A,∪A 即有限并可以表示成可数并.由于对可数并运算封闭,因此牙对有限并运算封闭.因 此牙是代数,由代数的性质知道X,∈丌并且对有限交运算和差运算封闭。由De Morgan公式得到∩4=(4),由于对可数并和余运算的封闭性知道对可 数交运算封闭■ 以上定义的四种集类的关系是,每个σ-代数都是代数,每个代数都是环,每个环都 是半环 思考题:1.分别举例说明半环不必是环,环不必是代数,代数不必是σ-代数 2.举例说明σ-代数对任意多个集的并运算不一定封闭 由集类生成的-代数在定理4中我们已经知道,给定一个非空集类C,存在一个 包含C的最小的环R(C).关于a-代数和代数有类似的结果 定理8设C是一个非空集类则必存在唯一的一个σ-代数了,满足 (2)对任何包含C的σ-代数丌,必有 证明由X的全体子集所成的集类P(X)是一个σ-代数.因此至少存在一个包含 C的σ-代数.令 3∩{:是包含C的一代数} 则丌是一个包含C的σ-代数.事实上,显然犴非空并且牙彐C.设 A,∈J,n=12,…往证∪A∈丌.设是任意一个包含C的a代数.则 A∈",n=12,…由于'是σ代数,因此∪A∈这表明∪A∈.因此 丌对可数并运算封闭.类似可以证明犭对余运算封闭.因此丌是一个包含C的 σ-代数由丌的定义知道,对任何包含C的σ一代数丌,必有T′→丌.因此存在 性得证唯一性是显然的25 定理 7 设F 是一个σ -代数. 则 (1) ∅ ∈F , X ∈F . (2) F 对有限或可数并 有限或可数交 余和差运算封闭. 证明 由于 , A1 ∪L∪ An = A1 ∪L∪ An ∪ An L 即有限并可以表示成可数并. 由于F 对可数并运算封闭, 因此F 对有限并运算封闭. 因 此F 是代数 由代数的性质知道 X ,∅ ∈F 并且F 对有限交运算和差运算封闭 由 De Morgan 公式得到 ( ) , 1 1 C n C n n IAn UA ∞ = ∞ = = 由于F 对可数并和余运算的封闭性知道F 对可 数交运算封闭. 以上定义的四种集类的关系是, 每个σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都 是半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是σ -代数. 2. 举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的σ -代数 在定理 4 中我们已经知道, 给定一个非空集类C , 存在一个 包含C 的最小的环R (C ). 关于σ -代数和代数有类似的结果. 定理 8 设C 是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F ,满足 (1) F ⊃ C . (2) 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 证明 由 X 的全体子集所成的集类P (X ) 是一个σ − 代数. 因此至少存在一个包含 C 的σ -代数. 令 F =I{F ′ :F ′是包含C 的σ − 代数}. 则 F 是一个包含 C 的 σ - 代 数 . 事实上 , 显 然 F 非空并且 F ⊃ C . 设 A ∈ , n = 1, 2,L. n F 往 证 . 1 ∈F ∞ = U n An 设 F ′ 是任意一个包含 C 的 σ - 代 数 . 则 An ∈ F ′, n = 1, 2,L.由于 F ′ 是σ -代数, 因此 . 1 ∈F ′ ∞ = U n An 这表明 . 1 ∈F ∞ = U n An 因此 F 对可数并运算封闭. 类似可以证明 F 对余运算封闭. 因此 F 是一个包含C 的 σ − 代数.由F 的定义知道, 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 因此存在 性得证.唯一性是显然的