A-B B A=A1∪A2 B=B,∪B 图3—1 我们称由(1)定义的环为由C生成的环,记为R(C)由定理4知道,(C)是包含 C的最小的环 例3设 ={U(a,b]:(anb]⌒(a,b]=(≠k21} 由例1和定理4知道是一个环 Il代数与G-代数 定义5设是一个非空集类.若对并运算和余运算封闭,则称为一个代数 容易知道,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环.结合环的运 算封闭性知道,若.是一个代数,则必,X∈并且.对有限并、有限交、差和余运算 封闭 定义6若丌是一个非空集类,满足 (1)若A∈分,则A∈界 (2)若A,∈,n=1,2,…,则A∈ 则称为一个a-代数(或O-域 例4设分={x,},则是X上的σ-代数.这是X上的最小的a-代数 例5设/(X)是由X的全体子集所成的集类.则P(X)是一个σ-代数.这是X上的 最大的σ-代数 例6设X是一个无限集.令4={A:A.或者AC是有限集}.则4是X上的一个 代数.由于4对可数并运算不封闭,因此不是一个a-代数.若令A={A:A或者 A至多是可数集}则是X上的一个a-代数.以上结论的验证留作习题24 图 3 1 我们称由(1)定义的环R 为由C 生成的环, 记为R (C ).由定理 4 知道, R (C ) 是包含 C 的最小的环. 例 3 设 { ( , ]: ( , ] ( , ] ( ), 1}. 1 = ∩ = ∅ ≠ ≥ = a b a b a b i j k i i j j i R U i i 由例 1 和定理 4 知道R 是一个环. II 代数与σ -代数 定义 5 设A 是一个非空集类. 若A 对并运算和余运算封闭, 则称为一个代数. 容易知道, 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环. 结合环的运 算封闭性知道, 若 A 是一个代数, 则∅, X ∈ A 并且 A 对有限并 有限交 差和余运算 封闭. 定义 6 若F 是一个非空集类, 满足 (1) 若 ∈F , ∈F . c A 则A (2) 若 , 1, 2, , . 1 ∈F = ∈F ∞ = L U n An n 则 An 则称F 为一个σ -代数(或σ -域).. 例 4 设F ={X ,∅},则F 是 X 上的σ -代数. 这是 X 上的最小的σ -代数. 例 5 设P (X ) 是由 X 的全体子集所成的集类. 则P (X ) 是一个σ -代数. 这是 X 上的 最大的σ -代数. 例 6 设 X 是一个无限集. 令 A = {A : A. 或者 C A 是有限集}. 则 A 是 X 上的一个 代数. 由于 A 对可数并运算不封闭, 因此 A 不是一个σ -代数. 若令 A = {A : A 或者 C A 至多是可数集} 则F 是 X 上的一个σ -代数. 以上结论的验证留作习题. A1 A2 B1 A1 − B1 14243 14243 14 2 444 4 3 444 14243 64748 B2 A2 − B2 6 4 78 6478 A = A1 ∪ A2 B = B1 ∪ B2