证明由于A∪B=A∪(A-B),故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到 因此若咒对不相交并和差运算封闭,则对并运算也封闭,因而界是一个环.设是 个环.由于界非空,故存在A∈咒.于是⑧=A-A∈.由于 A∩B=(A∪B)-(A-B)∪(B-A) 即交运算可以通过并运算和差运算得到,因此界对交运算封闭■ 例2设={A:A是X的有限子集},则是一个环 定理4设C是一个半环.令 ={∪c:C1…C属于C并且互不相交,k21 (1) 则是一个环.并且是包含C的最小的环 证明显然Cc.由定理3,为证是一个环,只需证明对不相交并和差运算封 闭即可.显然对不相交并算封闭往证?对差运算封闭设A=U4和B=∪B 是中任意两个集.则 A∩B=(U4)(UB)=U∪(4⌒B =lj=1 由于C对交运算,利用上述等式知道对交运算封闭.我们有 A-B=U4-UB=U∩(4-B) 由于C是半环,故A1-B,可以表示为C中的有限个集的不相交并,因此由的定义知 道A-B∈.上面已证?对交运算封闭,因此∩(4-B)∈.由于 (4-B,):1=1…,n}中的集互不相交并且R对不相交并运算封闭,由(2)知道 A-B∈R.即对差运算封闭.所以是一个包含C的环.显然若是任意包含C 的环则c.即界是包含C的最小的环(图3-1是当C是例1中的半环的情形)23 证明 由于 A∪ B = A∪(A− B), 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因此若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 对并运算也封闭, 因而R 是一个环. 设R 是 一个环. 由于R 非空, 故存在 A∈ R. 于是∅ = A − A∈ R. 由于 A ∩ B = (A ∪ B) − ((A − B) ∪ (B − A)), 即交运算可以通过并运算和差运算得到, 因此R 对交运算封闭. 例 2 设R = {A : A是X的有限子集}, 则R 是一个环. 定理 4 设C 是一个半环. 令 R { : , , , 1}. 1 1 = ≥ = C C C k k k i U i L 属于C 并且互不相交 (1) 则R 是一个环. 并且R 是包含C 的最小的环. 证明 显然C ⊂ R.由定理 3, 为证R 是一个环, 只需证明R 对不相交并和差运算封 闭即可. 显然R 对不相交并算封闭. 往证 R 对差运算封闭. 设 U n i A Ai =1 = 和 U m j B Bj =1 = 是R 中任意两个集. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 U U UU n i m j i j n i i n i A B Ai B A B = = = = ∩ = ∩ = ∩ 由于C 对交运算, 利用上述等式知道R 对交运算封闭. 我们有 ( ). 1 1 1 1 U U UI n i m j i j m j j n i A B Ai B A B = = = = − = − = − (2) 由于C 是半环, 故 Ai − Bj 可以表示为C 中的有限个集的不相交并, 因此由R 的定义知 道 Ai − Bj ∈ R . 上面已证 R 对交运算封闭 , 因 此 − ∈ = I m j Ai Bj 1 ( ) R . 由 于       − = = A B i n m j i j ( ) : 1, , 1 I L 中的集互不相交并且 R 对不相交并运算封闭, 由(2)知道 A − B ∈ R . 即R 对差运算封闭. 所以R 是一个包含C 的环. 显然,若R ′ 是任意包含C 的环,则R ⊂ R ′. 即R 是包含C 的最小的环(图 3 1 是当C 是例 1 中的半环的情形)