注概率P是定义在Ω的所有子集上的一个实值集函数,其自变量是任意随机事件A,函数值 是0~10之间的实数 概率的性质 性质1P(φ)=0 性质2(有限可加性)设A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则 P(A4+A2+…+A)=∑P(4) 性质3对任意事件A,有P(A)=1-P(A) 性质4若ACB,则P(B-4)=PB)P(4) 注对任意事件A,B,有P(B-4)=P(B)-P(AB) 性质5PUB)=P(A)+P(B)P(AB) 性质6若AcB,则P(B)≥P(4) 注性质5可推广到有限个事件并的情形,如三个事件的并的概率为 P(∪BUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 例1某厂两台机床,甲机床发生故障的概率为0.1,乙机床发生故障的概率为0.2,两台机床 同时发生故障的概率为0.05,试求 (1)甲,乙至少有一台发生故障的概率 (2)甲,乙都不发生故障的概率 (3)甲,乙不都发生故障的概率 (4)甲发生故障,乙不发生故障的概率。 解:令A表“机床甲发生故障”,B表“机床乙发生故障”,则P(A)=0.1,P(B=02,P(A∩B)=0.05 (1)A∪B表“机床甲与乙至少有一台发生故障”,故P(AUB)=P()+P(B)-P(AB=025; (2)AB表“机床甲与乙都不发生故障”,故P(AB)=P(A∪B)=1-P(AU∪B)=0.75 (3)AB表“机床甲与乙不都发生故障”,故P(AB)=1-P(AB)=0.95 (4)AB表“甲发生故障,乙不发生故障”,故P(AB)=P(A)-P(AB)=005 例2设P()=1/3,P(B=12在下列三种情况下,求P(BA)的值 (1)A与B互斥;(2)ACB;(3)P(B)=18 解(1)当A与B互斥时,B∩A=B,所以P(BA)=P(B)=1/2; (2)当AcB时,P(BA)=P(B)-P(A)=1/6; (3)由性质4的注可得,P(BA)=P(B)-P(AB)=3/8注 概率 P 是定义在Ω的所有子集上的一个实值集函数，其自变量是任意随机事件 A，函数值 是 0~1.0 之间的实数。 概率的性质： 性质 1 P(φ)=0. 性质 2 (有限可加性) 设 A1，A2，…，An 是两两互斥的事件，则 = + + + = n k P A A An P Ak 1 1 2 (  ) ( ) 性质 3 对任意事件 A，有 P(A) = 1− P(A). 性质 4 若 A  B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) 注 对任意事件 A, B, 有 P(B-A)=P(B)-P(AB) 性质 5 P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB) 性质 6 若 A  B, 则 P(B)≥P(A) 注 性质 5 可推广到有限个事件并的情形，如三个事件的并的概率为 P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A B) − P(AC) − P(B C) + P(A B C). 例 1 某厂两台机床, 甲机床发生故障的概率为 0.1，乙机床发生故障的概率为 0.2，两台机床 同时发生故障的概率为 0.05，试求 (1) 甲，乙至少有一台发生故障的概率； (2) 甲，乙都不发生故障的概率； (3）甲，乙不都发生故障的概率； （4）甲发生故障，乙不发生故障的概率。 解：令 A 表“机床甲发生故障”，B 表“机床乙发生故障”，则 P(A)=0.1，P(B)=0.2，P(A∩B)=0.05. （1）A∪B 表“机床甲与乙至少有一台发生故障”, 故 P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB)=0.25; (2) AB 表“机床甲与乙都不发生故障”，故 P(AB) = P(A B) = 1− P(A B) = 0.75; (3) AB 表“机床甲与乙不都发生故障”，故 P（AB）=1− P（AB）= 0.95 ； （4） AB 表“甲发生故障，乙不发生故障”，故 P(AB) = P(A) − P(AB) = 0.05。 例 2 设 P(A)=1/3， P(B)=1/2 在下列三种情况下，求 P(BA) 的值 (1) A 与 B 互斥; (2) A  B ; (3) P(AB)=1/8. 解 （1）当 A 与 B 互斥时， B A = B,所以 P(BA)＝P(B) = 1/ 2 ; （2）当 A  B 时， P(BA)＝P（B) − P(A) = 1/ 6 ; （3）由性质 4 的注可得， P(BA) = P(B) − P(AB) = 3/8