6.确定a,b的值，使点(0,1)为曲线y=e-x-bx2+a的拐点. 解由于点(O,)是曲线的拐点过，所以有 y(0)=1+a=1 y"(0)=1-2b= 。解方程组得a=0,b=} 7.设函数f(x),g(x)二阶可导，当x>0时，f"(x)>g"(x),且f(0)=g(0),f"(0)=g'(0), 证明：当x>0时，f(x)>g(x). 证令F(x)=f(x)-g(x).则x>0时，F"(x)=f"(x)-g"(x)>0,F'(x)单调增加，故 F'(x)>F'(0)=f'(O)-g'(0)=0,所以函数F(x)单调增加，从而F(x)>F(O)=f(O)-g(O)=0, 即f(x)>g(x). 8.设函数f)在闭区间0，]上二阶可导，且f0)=0,f()>0,证明四在(0,1上是 单调增函数. 证令Fx)=四，则x∈0，，F')=")-f四 x2 又令p(x)=xf(9f(,则p'(x上xf'(9,故p(x)在(0,1]上单调增加，从而 p(x)>0)=0,F'x)=四>0，即Fx)=fD单调增加. 习题3一4答案 1.单项选择题 (1)设f(x)在x=x。处取得极大值，则必有() (A)f'(x)=0 (B)f'(xo)=0且f"(xo)<0 (C)f"(x)<0 (D)f'(xo)=0或f'(x)不存在： 2 (2)设函数f(x)=(x+1)3，则x=-1是f(x)的() (A)驻点 (B)极值点 (C)间断点 (D)可微点： (3)下列说法中不正确的是() (A)若f'(x,)=0,f"(x)<0,则x=x。为函数f(x)的极大值点； (B)若f'(x。)=0,∫"(x。)=0,则不能确定点x=xo是否为函数f(x)的极值点： (c)函数f(x)在区间(a,b)内极大值不一定大于极小值： 88 6．确定 a ，b 的值，使点 (0,1) 为曲线 y e bx a x     2 的拐点． 解 由于点 (0,1) 是曲线的拐点过，所以有 (0) 1 1, (0) 1 2 0. y a y b           解方程组得 a  0 ， 2 1 b  ． 7．设函数 f (x) ，g(x) 二阶可导，当 x  0 时， f (x)  g (x) ，且 f (0)  g(0) ，f (0)  g (0) ， 证明：当 x  0 时， f (x)  g(x) ． 证 令 F x f x g x ( ) ( ) ( )   ．则 x  0 时， F x f x g x    ( ) ( ) ( ) 0    ， F x ( ) 单调增加，故 F x F f g     ( ) (0) (0) (0) 0     ，所以函数 F x( ) 单调增加，从而 F x F f g ( ) (0) (0) (0) 0     ， 即 f (x)  g(x) ． 8．设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上二阶可导，且 f (0)  0 ， f (x)  0 ，证明 x f (x) 在 (0,1] 上是 单调增函数． 证 令 ( ) ( ) f x F x x  ，则  x (0,1) ， 2 ( ) ( ) ( ) xf x f x F x x     ． 又 令 ( ) ( ) ( ) x xf x f x    ， 则   ( ) ( ) 0 x xf x   ， 故 ( ) x 在 (0,1] 上 单 调 增 加 ， 从 而   ( ) (0) 0 x   ， 2 ( ) ( ) 0 x F x x     ，即 ( ) ( ) f x F x x  单调增加． 习题 3－4 答案 1．单项选择题 （1）设 f (x) 在 0 x  x 处取得极大值，则必有（ ） （A） f (x0 )  0 （B） f (x0 )  0 且 f (x0 )  0 （C） f (x0 )  0 （D） f (x0 )  0 或 0 f x ( ) 不存在； （2）设函数 3 2 f (x)  (x 1) ，则 x  1 是 f (x) 的（ ） （A）驻点 （B）极值点 （C）间断点 （D）可微点； （3）下列说法中不正确的是（ ） （A）若 f (x0 )  0 ， ( ) 0 f  x0  ，则 0 x  x 为函数 f (x) 的极大值点； （B）若 f (x0 )  0 ， ( ) 0 f  x0  ，则不能确定点 0 x  x 是否为函数 f (x) 的极值点； （C）函数 f (x) 在区间 (a,b) 内极大值不一定大于极小值；