x=0为函数不可导点，列表得 x (-0,0) @3 y'(x) >0 <0 >0 故面数在0，子上单调碱少，在(-0】及（后，+m)上单词增加， 1 4证明：X>0时，1+x>G。 作1时-.0网时2-是 令f(x)=0 得驻点x=1.又了0=}>0，f0=号为极小值，从而x>0时，)>0>0，即证得 1+x>. 5.求下列曲线的凹凸区间及拐点 (1)y=x3-3x2+x-1: (2)y= 1+x29 (3)y=ln(x2-1). 解(1)在函数定义域(-，+w)内，y'=3x2-6x+1,y=6(x-1)=0.令y=0得 x=1.当x∈o)时，y”<0:当x∈网时，y”">0.故曲线在(-0，]上是凸的，在[l,+∞) 上是凹的，拐点为(1，-2) （2)在函数定义域(-0+o)内，y=1- 4,”=-2+1.令少=0得 (+x2 x=0,±√5.列表 (-0,-V5) (-5,0) (0,V5) (5,+o) >0 <0 >0 <0 由表可知，曲线弧在(-0，-√3]及[0，V3]上是凸的，在[-V3,0]及(W3,+0)上是凹的：拐点为 (0,0)和 (3)在函数定义域(-0，-1)U(-1,+∞)内，y= 2x 2二少”=2x+》<0.因此曲线弧 (x2-102 在(-0，-1)及(1，+0)上是凸的，无拐点. 77 x  0 为函数不可导点，列表得 x ( ,0)  2 (0, ) 5 , ) 5 2 (  y x ( )  0  0  0 故函数在 ] 5 2 [0, 上单调减少，在 (,0] 及 , ) 5 2 (  上单调增加． 4．证明： x  0 时，  x  x 2 1 1 ． 解 作辅助函数 1 ( ) 1 2 f x x x    ．则 x  0 时 1 1 1 ( ) (1 ) 2 2 x f x x x      ．令 f x ( ) 0  得驻点 x 1 ．又 1 1 (1) 0, (1) 4 2 f f      为极小值，从而 x  0 时， f x f ( ) (1) 0   ，即证得  x  x 2 1 1 ． 5．求下列曲线的凹凸区间及拐点 （1） 3 1 3 2 y  x  x  x  ； （2） 2 1 x x y   ； （3） ln( 1) 2 y  x  ． 解 （1）在函数定义域 (,) 内， 2 y x x     3 6 1， y x     6( 1) 0 ．令 y   0 得 x 1 ．当 x ( ,1) 时，y   0 ；当 x  (1, ) 时， y   0 ．故曲线在 (,1] 上是凸的，在 [1,) 上是凹的，拐点为 (1,2)． （２）在函数定义域 (,) 内， 2 2 2 2 2 2 4 1 2 ( 3)( 1) , (1 ) (1 ) x x x x y y x x           ．令 y   0 得 x   0, 3 ．列表 x ( , 3)   ( 3,0)  (0, 3) ( 3, )  y   0  0  0  0 由表可知，曲线弧在 (, 3] 及 [0, 3] 上是凸的，在 [ 3,0] 及 ( 3,) 上是凹的；拐点为 (0,0) 和           4 3 3, ． （３）在函数定义域 ( , 1) ( 1, )     内， 2 2 , 1 x y x    2 2 2 2( 1) 0 ( 1) x y x       ．因此曲线弧 在 ( , 1)   及 (1,) 上是凸的，无拐点．