310 岩 力 学 2011年 然而，十体风别于传梦相变导执村程的一个品 木文将参考文献「11-14]中用于求解线性因结问 著特征是在冻结状态下会存在一定数量的未冻水， 题的方法获得其半解析解，基本的思想可以表述如 这是显热容棋型所没有考虑的。文献5]中通过对才 下：对该过程在空间上和时间上进行分段，将士体 热耦合模型的简化，得到了形式简单的等效热容模 划分为n层，每一层标记为，其厚度为h:同时 型。该模型考虑了十体的冻结特性曲线（即未冻水 将十体的冻结时程在时间上也制分为是够小的冬个 含量与负温的关系)，基本适用于土体中冻结诱导水 时段，用符号k来表示其中的某一时段，。 流较弱条件下的温度场计算问题。 每一薄层在时段k内的参数随空间和时间的 本文 维冻结过程， 采用等效热容 变化都较微小，因此，可以近似取：时刻的平均 模型进行温度场计算，建立一种半解析分析方法， 值作为薄层在时段k内的相应值，这样在每一个 并进行相关的算例讨论。 时段k内土体经历的过程可以视为层状土体的导热 2基本方程及条件 问题， 如图1所示。 文献5)给出了土壤冻结过程温度场计算的等 效热容模型，其基本方程如下： (1) 式中：C,为等效热容，在未冻土段即为体积热容 C,而在冻土段则为C.+Lp0./T,L为相变 潜热，P.为水的密度，日，为未冻水体积含量：元为 土体导热系数。 3.2k时段的求解 =4-T)8 (2) 通过31节对模型分层线性化后，k时段内的层 式中：参数A、B与士性有关。 状土体导热问题的基本方程为 土体的体积热容C,可由下式计算-： ，=1.2.3n (5) C,=C6.+C8+C,8+C8. (3) 式中：日、日、日分别为冰、土颗粒、空气体积含 式中：a=a/C,为1时刻2在i层上的平 量：Cm、C、C,、C,分别为水、冰、土骨架、空 均值，=∫(，4)d:/h,Cw为1时刻C,在 气的热容。 土导热系数可以用几何平均公式表示-] 1层上的平均值，Cv.=[C(e,-)d:1h。 入=元元"入4入% (4) 土体两端的温度边界条件为 7=7.二=0=0 式中：元、无、入、入分别为水、冰、土骨架、 (6) 空气的导热系数。 T=T,E=8.=H 考虑一段土体，其厚度为H,初始时刻温度分 在土层交界面：=处，需要满足如下条件： 布任意，土体经历由上而下冻结，上端部为冷端， (7) 温度恒定为T:下端部为暖端，温度恒定为T。与 此单值性条件相应的工程背景如文献9中的地层 e) 初始条件即为，时刻的温度场分布 冬季冻结，此时T:为冬季地表平均温度，H为温度 Ta=T()，l,2,3,n(8) 场影响深度：文献10中的土体室内连续冻结试验 也符合此单值性条件。 下面对该层状土体导热问题进行求解，首先要 进行边界条件齐次化，令 3问题的求解 T=T0+T2,l,2,3,n(9) 3.1基本思想 其中T)是满足基本方程及边界、土层交界面 对于非线性方程式(1)，无法求得其解析解， 条件的一组特解，容易给出如下一组： 1002016Ci Academie al Electronic Publishing House.All rights eserved http://www.cnki.ne 310 岩 土 力 学 2011 年 然而，土体区别于传统相变导热过程的一个显 著特征是在冻结状态下会存在一定数量的未冻水， 这是显热容模型所没有考虑的。文献[5]中通过对水 热耦合模型的简化，得到了形式简单的等效热容模 型，该模型考虑了土体的冻结特性曲线（即未冻水 含量与负温的关系），基本适用于土体中冻结诱导水 流较弱条件下的温度场计算问题。 本文针对土壤的一维冻结过程，采用等效热容 模型进行温度场计算，建立一种半解析分析方法， 并进行相关的算例讨论。 2 基本方程及条件 文献[5]给出了土壤冻结过程温度场计算的等 效热容模型，其基本方程如下： v ( ) T T C txx λ ∂ ∂∂ = ∂∂ ∂ （1） 式中： Cv 为等效热容，在未冻土段即为体积热容 Cv ，而在冻土段则为 v wu CL T + ∂∂ ρ θ / ，L 为相变 潜热，ρ w 为水的密度，θu 为未冻水体积含量；λ 为 土体导热系数。 土壤的冻结特性即未冻水与负温的关系可表 示为[6] u ( ) B θ A T − = − （2） 式中：参数 A、B 与土性有关。 土体的体积热容Cv 可由下式计算[7–8]： CC C C C v wu ii ss aa = ++ + θ θθ θ （3） 式中：θi 、θs 、θa 分别为冰、土颗粒、空气体积含 量；Cw 、Ci 、Cs 、Ca 分别为水、冰、土骨架、空 气的热容。 土壤导热系数可以用几何平均公式表示[7–8] u sa i w isa θ θ θ θ λ = λ λλλ （4） 式中： λw 、 λi 、 λs 、 λa 分别为水、冰、土骨架、 空气的导热系数。 考虑一段土体，其厚度为 H，初始时刻温度分 布任意，土体经历由上而下冻结，上端部为冷端， 温度恒定为 Tc；下端部为暖端，温度恒定为 Tw。与 此单值性条件相应的工程背景如文献[9]中的地层 冬季冻结，此时 Tc为冬季地表平均温度，H 为温度 场影响深度；文献[10]中的土体室内连续冻结试验 也符合此单值性条件。 3 问题的求解 3.1 基本思想 对于非线性方程式（1），无法求得其解析解， 本文将参考文献[11–14]中用于求解非线性固结问 题的方法获得其半解析解，基本的思想可以表述如 下：对该过程在空间上和时间上进行分段，将土体 划分为 n 层，每一层标记为 i，其厚度为 hi；同时， 将土体的冻结过程在时间上也划分为足够小的各个 时段，用符号 k 来表示其中的某一时段[tk-1，tk]。 每一薄层 i 在时段 k 内的参数随空间和时间的 变化都较微小，因此，可以近似取 tk-1 时刻的平均 值作为薄层 i 在时段 k 内的相应值，这样在每一个 时段 k 内土体经历的过程可以视为层状土体的导热 问题，如图 1 所示。 图 1 分层示意图 Fig.1 The divided soil layers 3.2 k 时段的求解 通过 3.1 节对模型分层线性化后，k 时段内的层 状土体导热问题的基本方程为 2 2 i i ik T T a t z ∂ ∂ = ∂ ∂ ， i=1, 2, 3,…, n （5） 式中： v / ik ik ik a C = λ ，λik 为 tk-1 时刻λ 在 i 层上的平 均值， 1 1 ( , )d / i i z ik k i z λ λ zt z h − = ∫ − ，Cvik 为 tk-1时刻Cv 在 i 层上的平均值， 1 V 1 ( , )d / i i z ik v k i z C C zt z h − = ∫ − 。 土体两端的温度边界条件为 c 0 w , 0 , n TTzz TT zz H = == ⎫ ⎬ = == ⎭ （6） 在土层交界面 i z z = 处，需要满足如下条件： 1 ( 1) 1 / / i i ik i i k i T T λ λ Tz T z + + + = ⎫⎪ ⎬ ∂ ∂= ∂ ∂ ⎪⎭ （7） 初始条件即为 tk-1时刻的温度场分布 1 ,initial , ( ) k T Tz i it − = ，i=1, 2, 3, …, n （8） 下面对该层状土体导热问题进行求解，首先要 进行边界条件齐次化，令 (1) (2) Ti = Ti +Ti ， i=1, 2, 3,…, n （9） 其中 (2) Ti 是满足基本方程及边界、土层交界面 条件的一组特解，容易给出如下一组：