增刊1 周扬等：土体一维冻结问蔻温度场半解析解 311 ,1,2,…,n(10) B。=6au1H (25) (26 式中：T、T分别为、处的温度，由下式计算： 8日=m46骨+Bco46 工=收-会老 (11) 对于系数A、B,需要满足下列递推公式 [【A,BJ'=[41,0j (27) 不-7+收-务 (12) [【4m,B'=S[4-,B-nJ,i=2,3.…,n(28) 式(27)由0处齐次边界条件获得，式(28)由1 式(9)中T"则满足基本方程与齐次边界条件， m1处的层间接触条件获得。 其初始条件为 递推矩阵S,=CD,其中 I= T.e)-T(e)=T(e),12,,n(13) 于"的定解问题，可采用分离变量法进行 cos4.治)-sin(4. 求解。令 T0=Z.(=)R),=12.….n(14) D 代入式(5)后变形得到 d.cos)-d,sin() a,R()Z.() (15) 上式成立则必同等于一个常数，记为a,则有 由式(27)~(28)可知，所有的系数A、B R'0-a,a.R0=0 (16) 都包含同样的因子A,于是可以把它提取出来， Z1)-aZ,(e)=0 (17) 则式(24)变化为 由式(16)的解答及实际问题的性质知a非正 于是可设 T"=248eew,l,2,3,…,n(29 =- (18) 此时式(27)中的A则变为1，新的系数A, 则式(16)、(17)的通解分别为 B由递推关系完全确定。 R.(1)= (19) 由处的边界条件可以得到特征值序列.的 Z,(=)=4 sin(n=)+B,cos(n=) 特征方程如下： (20) SSS,…S,S=0 (30) 因为m可以为不同的序列，因此，可得到式(5) 的通解为 其中，S,…,Sn在前面已有定义，另有 S=1,0 T=14.sin(n)+B cos(ne(1) S=[sin().cos( 式中：A、B为系数。因为层间条件式(7)，n 利用初始条件，可以建立方程如下： 的选择需需要使各层T”随：的变化具有相同的形 式，序列6满足式(22) 248.e=e,23.n（G31 2au/H=2a,=l,2,3,…(22) 特征函数g(e)满足正交关系吲 n=6n4/H,m=l,2,3… (23 ∑Cu8neg(e)d:=0,，当m≠n时 利用该正交关系及初始条件可以获得A T"-∑8e)e则，l,2,3.,n(24) 4.八元eaea (32) 其中 cdz 99-016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.htp:/www.增刊 1 周 扬等：土体一维冻结问题温度场半解析解 311 (2) 1 1 1 i i ia b ii ii z z zz TT T zz zz − − − − − = + − − ，i=1, 2, …, n （10） 式中：Ta 、Tb 分别为 zi-1、zi处的温度，由下式计算： 1 c wc 1 1 ( ) /( ) i n j j a j j jk jk h h TT TT λ λ − = = =+ − ∑ ∑ （11） c wc 1 1 ( ) /( ) i n j j b j j jk jk h h TT TT = = λ λ =+ − ∑ ∑ （12） 式（9）中 (1) Ti 则满足基本方程与齐次边界条件， 其初始条件为 (1) ,initial( ) T z i = 1 , 1 (2) , () () () k itk T zT zT z it i − − ∗ − = , i=1,2,…, n （13） 对于 (1) Ti 的定解问题，可采用分离变量法进行 求解。令 (1) ( ) () T Z zR t i ii = ，i=1,2,…, n （14） 代入式（5）后变形得到 () ( ) () ( ) i i ik i i Rt Z z aRt Z z ′ ′′ = （15） 上式成立则必同等于一个常数，记为αi ，则有 () () 0 Rt aRt i i ik i ′ − = α （16） () () 0 Zz Zz i ii ′′ − = α （17） 由式（16）的解答及实际问题的性质知αi 非正， 于是可设 2 αi i = −η （18） 则式（16）、（17）的通解分别为 2 () e i ik a t R t i −η = （19） ( ) sin( ) cos( ) Zi ii i i zA zB z = + η η （20） 因为ηi 可以为不同的序列，因此，可得到式（5） 的通解为 2 (1) 1 [ sin( ) cos( )]e mi ik a t i mi mi mi mi m T A zB z η η η ∞ − = = + ∑ （21） 式中：Ami 、Bmi 为系数。因为层间条件式（7），η mi 的选择需需要使各层 (1) Ti 随 t 的变化具有相同的形 式，序列 m ε 满足式（22）， 2 22 1 / m k mi ik ε η aH a = ，m=1, 2, 3, … （22） 即 / η εµ mi m i = H ，m=1, 2, 3, … （23） 式中： 1 / i k ik µ = a a 。 于是通解形式变化为 (1) 1 ( )e mt i mi m T gz β ∞ − = = ∑ ，i=1, 2, 3, …, n （24） 其中 2 2 1 / m mk β ε = a H （25） ( ) sin( ) cos( ) mi mi i m mi i m z z gz A B H H = + µε µε （26） 对于系数 Ami 、 Bmi ，需要满足下列递推公式： T T 11 1 [ , ] [ ,0] AB A mm m = （27） T [,] A B mi mi = T ( 1) ( 1) [,] Si mi mi A B − − , i=2, 3, …, n（28） 式（27）由 z0处齐次边界条件获得，式（28）由 z1 ～ zn-1处的层间接触条件获得。 递推矩阵 Si ii = C D ，其中 1 1 1 1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) i i im im i i i im im z z H H z z H H µε µε µε µε − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ C 1 1 1 1 1 1 1 1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) i i im im i i i i im i im z z H H z z d d H H µε µε µε µε − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ D ( 1) ( 1) i k ik i ik i k a d a λ λ − − = 由式（27）～（28）可知，所有的系数 Ami 、Bmi 都包含同样的因子 Ami ，于是可以把它提取出来， 则式（24）变化为 (1) 1 1 ( )e mt i m mi m T Ag z β ∞ − = = ∑ ，i=1, 2, 3，…, n （29） 此时式（27）中的 Am1则变为 1，新的系数 Ami ， Bmi 由递推关系完全确定。 由 zn 处的边界条件可以得到特征值序列 m ε 的 特征方程如下： 1 1 21 0 S SS SS n nn + − " = （30） 其中 S2，S3，…，Sn在前面已有定义，另有 T 1 S = [1,0] 1 [sin( ),cos( )] n nm nm µ ε µε S + = 利用初始条件，可以建立方程如下： 1 1 , 1 () () m mi i tk m A gz T z − ∞ ∗ = ∑ = , i=1, 2, 3, …, n （31） 特征函数 ( ) mi g z 满足正交关系[15] 1 v 1 ( ) ( )d 0 i i n z ik mi ni z i C g zg z z − = ∑ = ∫ ，当m ≠ n 时。 利用该正交关系及初始条件可以获得 Am1 1 1 1 v , 1 1 2 v 1 ( ) ( )d ( )d i k i i i n z ik i t mi z i m n z ik mi z i C T zg z z A C gzz − − − ∗ = = = ∑ ∫ ∑ ∫ （32）