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L(x,xnθ)=max (x,5,xnθ) 0E0 这样得到的0与样本观察值有关,常记为(x,,xn),我们称(x1,,x)为参数0的 极大似然估计值,并称相应的统计量(x,,x)为参数0的极大似然估计量。 若r为连续型总体,其密度函数为f八x,0),日∈⊙为待估参数。设(n,,., )为总体X的样本,,,X的观察值,则,,.,的联合密度函数为 1/x,) 1 与离散型的情形类似,称 L40)=4x,xn0)=/八x0) 为样本的似然函数。若有(x,,x)使 L(0)=max{Lθ)}, 则称6为参数的极大似然估计值,相应地称日=(x,,x)为0的极大似然估计量。 一般地,设总体r的分布律或概率密度函数为f(:;01,02,日),其中01,02, 日为k个未知待估参数,又设(n,?,…,xn)为样本观察值,记 L0…,0)=Π/x:0020) = 则称L(01,02,日)为似然函数。若存在 ).0()0 使得 L01,02,,0)=maxL⑥L…,6) 则称日,61,6,分别为0,02,0的极大似然估计值,而称 6,(K,K2,n,02(,2Xn)2,0(X1,X2Xn) 为极大似然估计量 例5在一袋内放有很多的白球和黑球,己知两种球数目为13,但不知道哪一种颜 色的球多,现从中有放回地抽取3次,试求黑球所占比例的极大似然估计。 解设X表示3次抽球中黑球出现的次数,0表示黑球所占比例,由题意0=14或 3/4,则似然函数为:L(0)=P{r=x}=C0(1-0)3-r,x=0,1,2,3 将0值代入: 4=Gr2, 42=G,) max ( , ,.... ; ) ˆ ( ,..., ; 1  1 2   n n L x x L x x x   这样得到的ˆ与样本观察值有关,常记为ˆ ( x 1 ,.., x n ) ,我们称ˆ ( x 1 ,.., x n ) 为参数 的 极大似然估计值,并称相应的统计量ˆ ( x 1 ,.., x n ) 为参数 的极大似然估计量。 若 X 为连续型总体,其密度函数为 f (x, ),  为待估参数。设(x1,x2,…, xn)为总体 X 的样本 X1,X2,…,Xn的观察值,则 X1,X2,…,Xn的联合密度函数为   n i i f x 1 ( ;). 与离散型的情形类似,称     n i n i L L x x f x 1 1 ( ) ( ,..., ; ) ( ; ) 为样本的似然函数。若有ˆ ( x 1 ,.., x n ) 使 (ˆ ) max{ ( )},  L L   则称ˆ为参数的极大似然估计值,相应地称ˆ  ˆ (x 1 ,.., x n ) 为 的极大似然估计量。 一般地,设总体 X 的分布律或概率密度函数为 f (xi ; 1, 2,  k ),其中 1, 2,  k 为 k 个未知待估参数,又设(x1,x2,…,xn)为样本观察值,记    n i k i k L f x 1 1 1 2 ( ,..., ) ( ; , ,... ). 则称 L ( 1, 2,  k )为似然函数。若存在 ( , ,.... ), ˆ ( , ,.... ), ..., ˆ ( , ,.... ), ˆ 1 1 2 n 2 1 2 n k 1 2 n  x x x  x x x  x x x 使得 ) ˆ ,..., ˆ ) max ( ˆ ,..., ˆ , ˆ ( 1 ,..., 1 2 1 L k L k k         则称ˆ 1 ,ˆ 1 ,...,ˆ 1分别为 1, 2,  k的极大似然估计值,而称 ( , ,.... ), ˆ ( , ,.... ), ..., ˆ ( , ,...., ), ˆ1 X1 X 2 X n  2 X1 X 2 X n  k X 1 X 2 X n 为极大似然估计量. 例 5 5 在一袋内放有很多的白球和黑球,已知两种球数目为 1:3,但不知道哪一种颜 色的球多,现从中有放回地抽取 3 次,试求黑球所占比例的极大似然估计。 解 设 X 表示 3 次抽球中黑球出现的次数, 表示黑球所占比例,由题意 =1/4 或 3/4,则似然函数为: ( )   (1 ) , 0,1,2,3. 3    3    L P X x C x x x x    将 值代入: ) , 4 3 ) ( 4 1 ) ( 4 1 ( 3 3 x x x L C   ) , 4 1 ) ( 4 3 ) ( 4 3 ( 3 3 x x x L C  
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