第六章二次型 使学生掌握二次型、二次型的秩、二次型的标准型的概念、合同变换和合同矩阵的概 今和有关结论 使学生掌握用合同变换、配方法化二次型为标准型的方法，掌握正交变换和正交矩 的 的概念及正交矩阵的判断方法 学 用正交变换化二次型为标准形 对正交矩阵的理解及应用 学 用正交变换化二次型为标准形 对正交矩阵的理解及应用 点 教学过程 (一)回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 (二)引入新课。 第一节二次型及其矩阵 1.二次型的概念、矩阵表示及其秩 定义f为=4++++243+2aw++2 称为变量，.，xn的二次型。 若取a,=0,则了-之，：若经变换云=G使f=k2++k3,称之为二次型的标 i.j=l 准 给出实二次型和复二次型的概念，并指出我们只讨论实二次型。 若记A=(a,)n,则（5.1)可表示为f=x':,其中A=A,(例：写出 ,)=x2-32-4+的矩阵表示)，与A一一对应，称A为f的矩阵，称0为∫的秩 2.二次型的标准化 记C=(cy)mm,做=C成为f=T=(CTAC)。 3.合同变换和合同矩阵 定义：设A,B是n阶矩阵，如果存在n阶满秩矩阵P,使得B=PP,则称A和B是合同 的，称满秩矩阵P为合同变换矩阵。 例1对任意可逆阵C,B=CTAC是对称阵，证明A)=B)。 要使国经可逆变换化为标准型g列=(CACD=2++k,2,找可逆阵C使 CIAC=A=diag(k,k,)。由第四节的定理8，有 结论：总存在满秩变换=四，使(5.1)化为标准型f)=g列=y2++my2,其中.， 16 第六章 二次型 教 学 目 的 使学生掌握二次型、二次型的秩、二次型的标准型的概念、合同变换和合同矩阵的概 念和有关结论。 使学生掌握用合同变换、配方法化二次型为标准型的方法，掌握正交变换和正交矩阵 的概念及正交矩阵的判断方法 教 学 重 点 用正交变换化二次型为标准形 对正交矩阵的理解及应用 教 学 难 点 用正交变换化二次型为标准形 对正交矩阵的理解及应用 教 学 过 程 （一） 回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 （二） 引入新课。 第一节 二次型及其矩阵 1．二次型的概念、矩阵表示及其秩 定义 f (x1 , x2 ,, xn ) = a11x1 2 + a22x2 2 ++ annxn 2 + 2a12x1 x2 + 2a13x1 x3 ++ n n n n a x x 2 −1, −1 称为变量 n x , , x 1  的二次型。 若取 aij = a ji ，则 i j n i j ij f a x x = = , 1 ；若经变换 x Cy   = 使 2 2 1 1 n n f = k y ++ k y ，称之为二次型的标 准型。 给出实二次型和复二次型的概念，并指出我们只讨论实二次型。 若 记 A = aij nn ( ) ，则（ 5.1 ） 可 表 示 为 f x Ax T   = ，其中 A A T = ，（ 例 ： 写 出 f (x, y,z) = x −3z −4xy + yz 2 2 的矩阵表示）， f 与 A 一一对应，称 A 为 f 的矩阵，称 R(A) 为 f 的秩。 2．二次型的标准化 记 ij n n C c =  ( ) ，做 x Cy   = 成为 f x Ax T   = = y C AC y T T   ( ) 。 3．合同变换和合同矩阵 定义：设 A，B 是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶满秩矩阵 P，使得 B P AP −1 = ，则称 A 和 B 是合同 的，称满秩矩阵 P 为合同变换矩阵。 例 1 对任意可逆阵 C ， B C AC T = 是对称阵，证明 R(A) = R(B) 。 要使 f (x)  经可逆变换化为标准型 g(y) =  y C AC y T T   ( ) = 2 2 1 1 n n k y ++ k y ，找可逆阵 C 使 ( , , ) 1 n T C AC =  = diag k  k 。由第四节的定理 8，有 结论：总存在满秩变换 x Py   = ，使（5.1）化为标准型 f (x)  = g(y) =  2 2 1 1 n n  y ++  y ，其中  n , , 1 