是∫的阵A的特征值。 第二节二次型的标准化 初等变换法 1.合同变换法 对对称矩阵A,寻找可逆矩阵P,使pP=ga,G0,。由于P是满秩矩阵，所以 P可以表示成有限个初等矩阵之积。设P=55,这里每个5对应的一次初等变换，此时 广AP=5m5555m，下面说明恰好对应与5相应的初等行变换，而5是初等列 变换。 具体说有下列三种情况： (1)对调第i列与第j列，在对调第i行与第j行： (2)用数20乘以矩阵的第i列，再将1*0乘以矩阵的第i行： (3)将第i列的，倍加到第j列上，再将第i行的2倍加到第j行上。 显然，实施上述三套初等变换中的任何一套，矩阵的对称性不变。 (三)创1将4用合同变换化成对角阵 用合同变换化二次型为标准形 定理任意秩为r的对称矩阵A,都可以用三套初等变换将A化成对角阵。 定理对于秩为r的对称矩阵A,必存在满秩矩阵P,使得pP为对角阵。 定理 对于秩为r的二次型，必存在满秩变换=四，使二次型化成标准形 f=听++k2。 用配方法化二次型为标准型的方法 化f=为标准型，相当于找可逆阵C,使C4C=A为对角阵，不限定正交阵，有多 种方法，此时A的元素未必是A的特征值。举例说明Lagrange配方法： 例1化f=+2x子+5x+2x2+2+6成为标准型，并求所用的变换矩阵。 即 x1■1-9+3 2=”-2，在此变换之下，f=+好，所用的变换矩 x3=y3 阵为C=.。 例2化f=22+2x-623化为标准型，并求所用的变换矩阵。 (1,代入得/-20-21)-20好-42) 3=片 201-为户-20-2P+6'再令17 是 f 的阵 A 的特征值。 第二节 二次型的标准化 初等变换法 1．合同变换法 对对称矩阵 A，寻找可逆矩阵 P，使 ( , , , ,0, ,0) 1 2 P −1AP = diag c c  cr  。由于 P 是满秩矩阵，所以 P 可以表示成有限个初等矩阵之积。设 P = F1F2Fm ，这里每个 Fi 对应的一次初等变换，此时 P AP Fm F F PF1F2Fm 1 1 1 2 −1 −1 − − = ，下面说明 −1 Fi 恰好对应与 Fi 相应的初等行变换，而 Fi 是初等列 变换。 具体说有下列三种情况： （1） 对调第 i 列与第 j 列，在对调第 i 行与第 j 行； （2） 用数   0 乘以矩阵的第 i 列，再将   0 乘以矩阵的第 i 行； （3） 将第 i 列的  倍加到第 j 列上，再将第 i 行的  倍加到第 j 行上。 显然，实施上述三套初等变换中的任何一套，矩阵的对称性不变。 （三） 例 1 将         = 2 3 1 2 A 用合同变换化成对角阵 用合同变换化二次型为标准形 定理 任意秩为r的对称矩阵A，都可以用三套初等变换将A化成对角阵。 定理 对于秩为r的对称矩阵A，必存在满秩矩阵P，使得 P AP −1 为对角阵。 定 理 对于秩为 r 的二次型，必存在满秩变换 x py   = ，使二次型化成标准形 2 2 1 1 r r f = k y ++ k y 。 用配方法化二次型为标准型的方法 化 f x x Ax T    ( ) = 为标准型，相当于找可逆阵 C ，使 C AC =  T 为对角阵，不限定正交阵，有多 种方法，此时  的元素未必是 A 的特征值。举例说明Lagrange配方法： 例 1 化 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x 成为标准型，并求所用的变换矩阵。 解 f = 2 3 2 3 2 2 2 (x1 + x2 + x3 ) + x + 4x + 4x x = 2 2 3 2 1 2 3 (x + x + x ) + (x + 2x ) 令      = = + = + + 2 3 3 2 2 3 1 1 2 3 y x y x x y x x x ， 即      = = − = − + 2 3 3 2 2 3 1 1 2 3 x y x y y x y y y ，在此变换之下， 2 2 2 1 f = y + y ，所用的变换矩 阵为 C =。 例 2 化 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f = x x + x x − x x 化为标准型，并求所用的变换矩阵。 解 令      = = − = + 3 3 2 1 2 1 1 2 x y x y y x y y （1），代入得 2 3 2 2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 2( ) 2( 2 ) 6 2( 2 ) 2( 4 ) y y y y y f y y y y y y = − − − + = − − − ，再令