，即2.在-42下/-2-2+6e,所用的 s(001人： 变换矩阵为C 地任二次型均可用如上方法化为标准，二次型的肤等于标准型中的项数。 尽管二次型的标准型不唯一，但标准型中项数唯一，不仅如此，其中正、负项数也唯一 定理惯性定理)如果对秩为r的实二次型f)=R,经可逆变换x=G及x=P四化 为标准型f=k+.+k,y及∫=子+.+元，产(k,≠0，i=1,.,r。),则k,.k,中正 数的个数（叫做正惯性指标s)与元，元中正数的个数相等。从而k,k,中负的个数（叫 做负性指标1)与，.，元，中负的个数也相等（因为s+1=r≤n)。 正交变换与正交矩阵 定义5.3如果线性变换y=Qx保持内积不变，即对于任意的，2e”,总有 (Q,Q)=(,),则称y=Q为正交变换，称相应的方阵Q为正交矩阵。 定理方阵Q为正交矩阵的充要条件为Q'Q=E。 定理方阵Q为正交矩阵的充要条件为它的列（行）向量组构成标准向量组。 (四)总结本次课所讲主要内容 (五)回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 (六)引入新课。 化二次型为标准形的正交变换的存在性 对于给定的二次型=：，希望通过正交变换x=,将二次型f化成标准形。用矩阵 的语言表述，就是寻找阶正交矩阵Q,使得QQ=A,其中A为对角阵。 由于Q是正交矩阵，所以Q=Q,上式为Q40=A。 上式表明：正交矩阵是合同矩阵，因此正交变换又是相似的变换。由于相似矩阵具有相 同的特征值，所以如果存在正交矩阵Q,使得A相似于对角阵A,则A的对角元一定是A的特 征值。 定理实对称矩阵的特征值都是实数，其特征向量可以取为实向量。 定理对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的。 定理 若A为阶对称阵，2是A的r重特征值，则A-E)=n-r,从而对应A的特征 值入恰有，个线性无关的特征向量。 定义设A为m阶对称阵，如果2为特征方程E-0的2重根(i+j时，2元，： =2+++=n),则必存在正交阵p使p4P=A,其中对角阵A对角线上的元素 18      = = − = − 2 3 3 2 2 2 1 1 3 z y z y y z y y ，即      = = + = + 2 3 3 2 2 3 1 1 3 y z y z z y z z （2），在                     = − −           3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 3 z z z x x x 之下 2 3 2 2 2 f = 2z1 − 2z + 6z ，所用的 变换矩阵为 C =。 一般地，任一二次型均可用如上方法化为标准型，二次型的秩等于标准型中的项数。 尽管二次型的标准型不唯一，但标准型中项数唯一，不仅如此，其中正、负项数也唯一。 定理 惯性定理） 如果对秩为 r 的实二次型 f x x Ax  T  ( ) = ，经可逆变换 x Cy   = 及 x Pz   = 化 为标准型 2 2 1 1 r r f = k y ++ k y 及 2 2 1 1 r r f =  z ++  z （ k i r i i ,  0, =1,  , 。），则 r k , k 1 中正 数的个数（叫做正惯性指标 s ）与  r , , 1  中正数的个数相等。从而 r k , k 1 中负的个数（叫 做负性指标 t ）与  r , , 1  中负的个数也相等（因为 s + t = r  n ）。 正交变换与正交矩阵 定义 5.3 如果线性变换 y = Qx 保持内积不变，即对于任意的 n x1 , x2  R ，总有 ( , ) ( , ) 1 2 1 2 Qx Qx = x x ，则称 y = Qx 为正交变换，称相应的方阵 Q 为正交矩阵。 定理 方阵 Q 为正交矩阵的充要条件为 Q Q E T = 。 定理 方阵 Q 为正交矩阵的充要条件为它的列（行）向量组构成标准向量组。 （四） 总结本次课所讲主要内容 （五） 回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 （六） 引入新课。 化二次型为标准形的正交变换的存在性 对于给定的二次型 f x Ax T = ，希望通过正交变换 x = Qy ，将二次型f化成标准形。用矩阵 的语言表述，就是寻找n阶正交矩阵Q，使得 Q AQ =  T ，其中  为对角阵。 由于Q是正交矩阵，所以 −1 Q = Q T ，上式为 =  − Q AQ 1 。 上式表明：正交矩阵是合同矩阵，因此正交变换又是相似的变换。由于相似矩阵具有相 同的特征值，所以如果存在正交矩阵Q，使得A相似于对角阵  ，则  的对角元一定是A的特 征值。 定理 实对称矩阵的特征值都是实数，其特征向量可以取为实向量。 定理 对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的。 定理 若 A 为 n 阶对称阵，  是 A 的 r 重特征值，则 R(A− E) = n − r ，从而对应 A 的特征 值  恰有 r 个线性无关的特征向量。 定 义 设 A 为 n 阶对称阵，如果 i 为特征方程 iE − A = 0 的 i n 重根（ i  j 时， i   j ； i =1,2,  ,s,n1 + n2 ++ ns = n ），则必存在正交阵 P 使 =  − P AP 1 ，其中对角阵  对角线上的元素