lim f(x, y)=lim(2xsin 2x2 2x 2x 极限不存在,所以∫(x,y)在原点(0)不连续。同理f(x,y)在原点00 也不连续。但由于 f(0+△x,0+△y)-f0,0)-(0,0)Ax+f0,0)4y (x'+y2)sin o(√△x2+△y2), 所以函数在(00)可微 15.证明函数 x2+y2≠0, f(x,y)=x+y 在原点(00)处沿各个方向的方向导数都存在,但它在该点不连续,因 而不可微 解函数沿方向v=(coa,sina)的方向导数为 Ou=lim f(o+tcos a,0+tsin a)-f(0, 0) 2 cosasin2at' = lim 0,Va, 0+(cos2a+sina·t)t 所以函数在原点(00)处沿各个方向的方向导数都存在。但当(x,y)沿曲 线x=ky2趋于(00时,极限 2ky 2k lim f(x, y)=lin k'y+y k2 与k有关,所以函数在原点不连续,因而不可微 16.计算下列函数的高阶导数: (1)z= arctan,求 ay oy (2)2=xsin(x+y+ycos(x+y), *0=82022 ,求 a: a3=0 0 lim x ( , ) lim x x f x y → → = x y = 2 2 1 1 1 (2 sin cos ) 2 2 2 x x x x − ， 极限不存在，所以 ( , ) x f x y 在原点(0,0) 不连续。同理 ( , ) y f x y 在原点 也不连续。但由于 (0,0) (0 ,0 ) (0,0) [ (0,0) (0,0) ] x y f + ∆x y + ∆ − f − f ∆x + f ∆y = 2 2 2 2 1 ( ) x y sin x y + + 2 2 = ∆ o x ( ) + ∆y ， 所以函数在(0,0) 可微。 15. 证明函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y xy f x y 在原点 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因 而不可微。 (0,0) 解 函数沿方向v = (cosα,sinα)的方向导数为 0 (0 cos ,0 sin ) (0,0) limt f f t t f t α α → + ∂ + + − = ∂v 2 3 2 4 2 2 0 2cos sin lim 0, , (cos sin ) t t t t α α α → + α α ⋅ = = + ⋅ ∀ 所以函数在原点(0,0) 处沿各个方向的方向导数都存在。但当( , x y)沿曲 线 2 x = ky 趋于(0,0) 时，极限 2 4 2 4 4 2 0 0 2 2 lim ( , ) lim y y 1 x ky ky k f x y → → k y y k = = = + + 与 k 有关，所以函数在原点不连续，因而不可微。 16．计算下列函数的高阶导数： （1） x y z = arctan ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （2） z = x sin(x + y) + y cos(x + y)，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （3） z = x exy ，求 2 3 2 3 , x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； 8