在原点(00)连续且可偏导,但它在该点不可微。 解由于 0(x,y)→>(0,0), 所以 lim f(x, y)=lim =0=f(0,0) (xy)0)1x2+ 由定义, 10.0)=mMr+0-0,/(0.0)=1im+0 △x 0· 所以函数在原点(00)连续且可偏导。但 f(0+Ax,0+4y)-f(00)-[f(020)△x+fy(00)4y] Ax△p =f(Ax,△y)= ≠O√Ax2+4y2), 所以函数在(00)不可微。 14.验证函数 f(x,y)= 的偏导函数f(x,y),f,(x,y)在原点(00)不连续,但它在该点可微。 解由定义, (△x2+0)sn f(0,0)=lim =0 当(x,y)≠(0,0)时, f(x, y)=2xsin COS x-+y-≠0。 x-+1 由于在原点(0,0) 连续且可偏导，但它在该点不可微。 解 由于 2 2 2 2 0 (( , ) (0,0)) xy x y x y x y ≤ + → → + ， 所以 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → = ( , ) (0,0) 2 2 lim 0 (0,0) x y xy f x y → = = + 。 由定义， 2 0 0 0 0 (0,0) lim 0 x x x x f ∆ → x ∆ ⋅ − ∆ + = = ∆ ， 2 0 0 0 0 (0,0) lim 0 y y y y f ∆ → y ⋅∆ − + ∆ = = ∆ 。 所以函数在原点(0,0) 连续且可偏导。但 (0 ,0 ) (0,0) [ (0,0) (0,0) ] x y f + ∆x y + ∆ − f − f ∆x + f ∆y = f x ( , ∆ ∆y) = 2 2 x y x y ∆ ∆ ∆ + ∆ 2 2 ≠ ∆ o x ( ) + ∆y ， 所以函数在(0,0) 不可微。 14. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0, 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的偏导函数 f x (x, y), f y (x, y)在原点(0,0) 不连续，但它在该点可微。 解 由定义， 2 2 2 2 0 1 ( 0 )sin 0 0 (0,0) lim 0 x x x x f ∆ → x ∆ + − ∆ + = = ∆ ， 当( , x y) ≠ (0,0)时， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( , ) 2 sin cos , 0 x x f x y x x y x y x y x y = − + + + + ≠ 。 由于 7