解在(x,y)≠(0,0)点,函数值增长最快的方向为 grad f=(y,x) 在(00)点,由于梯度为零向量,不能直接从梯度得出函数值增长 最快的方向。设沿方向v=(cosa,sina)自变量的改变量为 Ax= t cOSa,△y= tsina, 则函数值的改变量为 f(△x,△y)-f(0,0)=△x△y=t2 cos a sina=t2sin2a, 由此可知当a=x,时函数值增长最快,即函数值增长最快的方向为 (11和(-1,-1) 验证函数 f(x,y)=vxy 在原点(00连续且可偏导,但除方向e和-e,(i=1,2)外,在 原点的沿其它方向的方向导数都不存在。 解 a limo, /(x, y)= moo xy=0=/(0,0) √△x0-0 Ay-O f(0,0)=lin =0,f,(0,0)=lim △x 所以函数在原点(00)连续且可偏导。取方向v=(cosa,sina),则 a= lim /(0+Icosa,0tsina)-/(0,0) Vi cosa.tsina lin sin 2a r→0+ 当smn2a=0,即a=灰时,极限存在且为零;当sm2a≠0,即a≠时, 极限不存在。所以除方向e和-e(i=1,2)外,在原点的沿其它方向 的方向导数都不存在 13.验证函数 ,x2+y2≠0, (x,y)={√x2+解 在(x, y) ≠ (0,0)点, 函数值增长最快的方向为grad f = ( y, x); 在 点, 由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长 最快的方向。设沿方向 (0,0) v = (cosα,sinα)自变量的改变量为 ∆ = x t cosα, ∆y = tsinα ， 则函数值的改变量为 2 2 1 ( , ) (0,0) cos sin sin 2 2 f x ∆ ∆y − f = ∆x∆y = t α α α = t ， 由此可知当 3 , 4 4 π π α = 时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为 (1,1)和(−1,−1)。 12． 验证函数 3 f (x, y) = xy 在原点(0,0) 连续且可偏导，但除方向ei 和 i − e （ ）外，在 原点的沿其它方向的方向导数都不存在。 i = 1,2 解 3 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim ( , ) lim 0 (0,0) x y x y f x y xy f → → = = = ， 3 0 0 0 (0,0) lim 0 x x x f ∆ → x ∆ ⋅ − = = ∆ ， 3 0 0 0 (0,0) lim 0 y y y f ∆ → y ⋅ ∆ − = = ∆ ， 所以函数在原点(0,0) 连续且可偏导。取方向v = (cosα,sinα)，则 0 (0 cos ,0 sin ) (0,0) limt f f t t f t α α → + ∂ + + − = ∂v 3 0 cos sin limt t t t α α → + ⋅ = 3 0 3 sin 2 lim 2 t t α → + = ， 当sin 2α = 0，即 2 kπ α = 时，极限存在且为零；当sin 2α ≠ 0，即 2 kπ α ≠ 时， 极限不存在。所以除方向ei 和 i − e （i = 1,2 ）外，在原点的沿其它方向 的方向导数都不存在。 13. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 6