(2)当a=5时,沿 V=(COS ),方向导数最小 (3)当a=3z,x时,沿y=(0s3z,sm3z)或 V=(COS ),方向 导数为零。 9.如果可微函数∫(x,y)在点(1,2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向 导数为2,从点(1,2)到点(.1)方向的方向导数为-2。求 (1)这个函数在点(12)处的梯度 (2)点(12)处的从点(12)到点(46)方向的方向导数。 解"=(2,2)-012)=(.0),=21+2.0=2= 2=(,1)-(12)=(0-1),z_az oy 所以在(1,2)处 (1) grad f(1,2)=(2,2)。 (2)因为(46)-012)=(134),p=-34)2=3.4),所以 +425 10.求下列函数的梯度: z=x+y sin(xy) (3)u=x2+2y2+3x2+3xy+4y+6x-2y-5,在点(1 AF(1)grad:=(2x+y'cos(xy), 2ysin(ry)+xy2 cos(xy)) (2)grad== (3) grad u=(2x+3y+6,4y+3x+4x-2,62+4y-5), grad u(11)1=(1,9,5) 1l.对于函数f(x,y)=x,在第I象限(包括边界)的每一点,指出 函数值增加最快的方向。(2) 当 5 4 π α = 时，沿 ) 4 5 ,sin 5π π 4 v =(cos ，方向导数最小。 (3) 当 3 7 , 4 4 π π α = 时，沿 ) 4 3 ,sin 3π π 4 v =(cos 或 ) 4 7 ,sin 7π π 4 v =(cos ，方向 导数为零。 9． 如果可微函数 在点 处的从点 到点 方向的方向 导数为 2，从点 到点 方向的方向导数为-2。求 f (x, y) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) (1,1) （1）这个函数在点(1,2)处的梯度； （2）点(1,2)处的从点(1,2)到点(4,6)方向的方向导数。 解 v =1 (2, 2) − = (1, 2) (1,0)， 1 1 0 z z z z x y x 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = = ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 2 v = (1,1) − = (1, 2) (0,−1) ， 2 0 ( 1) z z z z x y y 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ − = − = − ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 所以在(1,2)处， 2 z z x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 。 (1) grad f (1,2) = (2,2)。 (2) 因为(4,6) − = (1, 2) (3, 4) ， 2 2 (3, 4) (3, 4) 3 4 5 = = + v ，所以 (1,2) 3 4 1 2 2 5 5 ∂f 4 5 = ⋅ + ⋅ = ∂v 。 10. 求下列函数的梯度： （1） z = x 2 + y 2 sin(xy)； （2） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 2 2 2 1 b y a x z ； （3）u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 3xy + 4yz + 6x − 2y − 5z ，在点(1,1,1)。 解 (1) grad z = ( 2x + y 3 cos(xy), 2y sin(xy) + xy 2 cos(xy)) 。 (2) ) 2 , 2 grad ( 2 2 b y a x z = − − 。 (3) grad ( u x = + 2 3y + 6, 4y + 3 4 x + z − 2,6 4 z + y − 5)，grad u(1,1,1) = (11,9,5)。 11. 对于函数 ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出 函数值增加最快的方向。 f (x, y) = xy 5