2 (3)d= d x dy (5)du= xax+ ydy+Ed2 6)d=2( xdx+ ydy+zd。 7.求函数z=xe2在点P(10)处的沿从点P(1,0)到点Q(2-1)方向的方 向导数 解由于p=P=2-1)-(.0 PQ|(2.-)-01,0)5(1-1)=(n,),且 =2xe2, 所以 8.设z=x2-x+y2,求它在点(1)处的沿方向v=(cosa,sina)的方向 导数,并指出: (1)沿哪个方向的方向导数最大? (2)沿哪个方向的方向导数最小? (3)沿哪个方向的方向导数为零? 解由于 =coS a+sin a=(2x-y)cos a+(2y-xsin a, 所以 Ovlo )=cosa +sin a =sin(--a)+sin a= 2sin--cos( (1)当a=z时,沿v=(osz,sinz),方向导数最大。(3) dy x y x dx x y y dz 2 2 ( ) 2 ( ) 2 − + − = − 。 (4) dx x y xy dz 2 3 2 2 ( + ) = − dy x y x 2 3 2 2 2 ( + ) + 。 (5) 2 2 2 x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 (6) 2 2 2 2( ) x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 7. 求函数 在点 处的沿从点 到点 方向的方 向导数。 y z x 2 = e P(1,0) P(1,0) Q(2,−1) 解 由于 1 2 (2, 1) (1,0) 1 (1, 1) ( , ) | | | (2, 1) (1,0) | 2 PQ v v PQ − − = = = − = − − JJJG v ，且 2 2 e , 2 e z z y y x x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ， 所以 1 2 1 2 z z z v v x y ∂ ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ v ∂ 。 8. 设 z = x 2 − xy + y 2，求它在点(1,1)处的沿方向v = (cosα,sinα)的方向 导数，并指出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 解 由于 cos sin (2 ) cos (2 )sin z z z x y y x x y α α α ∂ ∂ ∂ = + = − + − ∂ ∂ v ∂ α ， 所以 (1,1) cos sin z α α ∂ = + ∂v sin( ) sin 2sin cos( ) 2 4 4 π π π = −α + α α = − , (1) 当 4 π α = 时，沿 ) 4 ,sin π π 4 v =(cos ，方向导数最大。 4