4.曲线2= 在点(2,45)处的切线与x轴的正向所夹的角度是 多少? 解以x为参数,曲线在点(245)处的切向量为女在=0 设它与x轴的正向所夹的角度为,则 cos=(.0. (1,0.0)=, 所以0 5.求下列函数在指定点的全微分: (1)f(x,y)=3x2y-xy2,在点(12) (2)f(x,y)=ln(1+x2+y2),在点(2,4) (3)f(x,y) 在点(0,1)和 解(1)因为d(x,y)=(6x-y2)d+(3x2-2xy)d,所以 df(1,2)=8ax- (2)因为d(x,y) 2 dhy,所以 x2+y2 df(2,4)=-x+,dy 21 (3)因为(x,y2=0x-2mxb,所以 df(0,1) 6.求下列函数的全微分 (2) (3) x+ 1 (4):=x (5) (6)u=ln( 解(1)d + x1 (2)dz=e(1+xy)(dx+ xdy)4. 曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点 处的切线与 轴的正向所夹的角度是 多少？ (2,4,5) x 解 以 x 为参数，曲线在点(2,4,5)处的切向量为 2 ( , , ) (1,0,1 x dx dy dz dx dx dx = = )， 设它与 x轴的正向所夹的角度为θ ，则 (1,0,1) 1 cos (1,0,0) 2 2 θ = ⋅ = ， 所以 4 π θ = 。 5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f (x, y) = 3x 2 y − xy 2，在点(1,2)； （2） f (x, y) = ln(1+ x 2 + y 2 )，在点(2,4)； （3） 2 sin ( , ) y x f x y = ，在点(0,1) 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ,2 4 π 。 解 (1) 因为df ( , x y) = − (6xy y 2 2 )dx + (3x − 2xy)dy ，所以 df (1,2) = 8dx − dy 。 (2) 因为 2 2 2 2 2 2 ( , ) 1 1 x y df x y dx dy x y x y = + + + + + ，所以 df dx dy 21 8 21 4 (2,4) = + 。 (3) 因为 2 3 cos 2sin ( , ) x x df x y dx dy y y = − ，所以 df (0,1) = dx , df dx dy 8 2 8 2 ,2) 4 ( = − π 。 6. 求下列函数的全微分： （1） z = y x ； （2） z = xy exy； （3） x y x y z − + = ； （4） 2 2 x y y z + = ； （5） 2 2 2 u = x + y + z ； （6）u = ln(x 2 + y 2 + z 2 )。 解 (1) dz = y x ln ydx + xy x−1 dy 。 (2) dz = e xy (1+ xy)( ydx + xdy) 。 3