图3.3为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为a,相邻同种原子(即等效点) 可的距离则为2a,因此,该晶格常数为2a。质 图3-3一维双原子链 量为m的小原子用奇数表示,质量为M的大原子 用偶数表示,原子间的力常数均为B。类同于式(34),我们得到如下运动方程 β( 2x2n1) (3.15) M d B(x2n+3+x2 式(3.15)的试探解仍为角频率为o的简谐振动 B 由于两种原子不同,它们的振幅也不一样,我们分别以A和B表示。将式(3.16) 代入方程(3.15),可以得到 A= B(eqa 2BA (3.17) Mo b= B(e+e- )A-2BB 化简并移项,可得如下以A、B为未知数的线性齐次方程: (2B-mO)A-(2B cos qa)B=0 (3.18) (2Bcos ga)A+(2B-MOB=0 欲使A、B有非零的解,其系数行列式应为零,即 B 2B cos qa 0 (3.19) 2B cos qa 2B-Mo21 由此解得两个ω2值。设M>m,则有 (m+M)-[m+M+2mM cos(2qa)]2 M m7(m+0+1m++2mM0 根据式(3,20)可画出两支格波的频谱或色散曲线(见图34)。和单原子链一样, 这两支色散关系都是偶函数和周期函数(以倒原胞或布里渊区大小为周期,此处即为 丌/a)。如前所述,这些性质是由晶格振动系统的对称性决定的,因此适用于更为复杂 的晶格振动情况,如原胞内有更多的原子以及二维和三维晶格的情况。图 3.3 为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为 a，相邻同种原子（即等效点） 之间的距离则为 2a，因此，该晶格常数为 2a。质 量为 m 的小原子用奇数表示，质量为 M 的大原子 用偶数表示，原子间的力常数均为β。类同于式（3.4），我们得到如下运动方程: 图 3-3 一维双原子链 ( )2 ( )2 2 221232 22 2 2 222 12 12 2 + + + + + + + −+= −+= n n n n n n n n xxx dt xd M xxx dt xd m β β （3.15） 式（3.15）的试探解仍为角频率为ω的简谐振动 ])2([ 22 ])12([ 12 aznqti n anqti n Bex Aex +− + +− + = = ω ω （3.16） 由于两种原子不同，它们的振幅也不一样，我们分别以 A 和 B 表示。将式（3.16） 代入方程（3.15），可以得到 BAeeBM ABeeAm iqa iqa iqa iqa βω β βω β 2)( 2)( 2 2 −+=− −+=− − − （3.17） 化简并移项，可得如下以 A、B 为未知数的线性齐次方程： 0)2()cos2( 0)cos2()2( 2 2 − =−+ −− = BMAqa Am Bqa β ωβ βωβ （3.18） 欲使 A、B 有非零的解，其系数行列式应为零，即 0 cos2 2 2 cos2 2 2 = − − − − β ωβ ωβ β qa M m qa （3.19） 由此解得两个ω2 值。设M > m，则有 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ++++ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ++−+ 2 1 2 22 2 2 1 2 22 1 [)( )]2cos(2 [)( )]2cos(2 mMMmMm qa mM mMMmMm qa mM β ω β ω （3.20） 根据式（3.20）可画出两支格波的频谱或色散曲线（见图 3.4）。和单原子链一样， 这两支色散关系都是偶函数和周期函数（以倒原胞或布里渊区大小为周期，此处即为 π / a ）。如前所述，这些性质是由晶格振动系统的对称性决定的，因此适用于更为复杂 的晶格振动情况，如原胞内有更多的原子以及二维和三维晶格的情况。 6