紧要的。常见的边界条件有两种:一是固定边界条件,即假定两端的原子固定不动。和 机械波一样,固定边界条件得到的解为驻波解。用驻波来表示格波,人们感到不甚习惯, 于是采用玻恩和冯·卡门提出的周期边界条件。这种边界条件假定我们研究的长度为 Na的有限晶体,是无限长的单原子链中的一个周期,因此各周期内相对应原子的运动 情况是一样的,即晶体中第i个原子,和t周期中的tN+i个原子运动情况是一样的。这 样,根据周期边界条件,我们有 (3.12) 亦即 Aei(ot-ga)= deilol-q(N+l)a (3.13) 这样 上式要成立,必须有 l为整数。 (3.14) 上式表明,描述有限晶格振动状态的波矢q不能取连续值而只能取一些分立的值, 也就是说,波矢q是量子化的,这是加上周期边界条件所得的第一个结论。由于q只能 取分立的值,则在有限的波矢空间,比如简约布里渊区内,q的取值是有限的。在简约 布里渊区内 <q≤ 不难算出,l应限制在 N 即l只能取从一N/2到N/2之间包括零在内的N个整数。N为原胞数,因此 的取值数目等于晶体中的原胞数。这是周期边界所得的第二个结论。从上面还可以看出 周期边界条件所得的解是行波解。 §32一维双原子链 除少数元素晶体,大多数晶体的原胞中都含 有不止一个原子,这就是复式格子。为充分认识 复式格子晶格振动的特征,我们下面研究最简单d22)82m23=3+22 的复式格子一维双原子链的晶格振动。 321运动方程 0-omm-o n o w o-ron'oD紧要的。常见的边界条件有两种：一是固定边界条件，即假定两端的原子固定不动。和 机械波一样，固定边界条件得到的解为驻波解。用驻波来表示格波，人们感到不甚习惯， 于是采用玻恩和冯·卡门提出的周期边界条件。这种边界条件假定我们研究的长度为 Na 的有限晶体，是无限长的单原子链中的一个周期，因此各周期内相对应原子的运动 情况是一样的，即晶体中第 i 个原子，和 t 周期中的 t N+i 个原子运动情况是一样的。这 样，根据周期边界条件，我们有 1 = N+1 xx （3.12） 亦即 qati )( aNqti ])1([ Ae Ae − +− = ω ω （3.13） 这样 =1 iqNa e 上式要成立，必须有 l Na q 2π = ， l 为整数。 （3.14） 上式表明，描述有限晶格振动状态的波矢 q 不能取连续值而只能取一些分立的值， 也就是说，波矢 q 是量子化的，这是加上周期边界条件所得的第一个结论。由于 q 只能 取分立的值，则在有限的波矢空间，比如简约布里渊区内，q 的取值是有限的。在简约 布里渊区内 a q a π π ≤<− 不难算出，l 应限制在 22 N l N ≤<− 即 l 只能取从－N / 2 到 N / 2 之间包括零在内的 N 个整数。N 为原胞数，因此，q 的取值数目等于晶体中的原胞数。这是周期边界所得的第二个结论。从上面还可以看出， 周期边界条件所得的解是行波解。 §3.2 一维双原子链 除少数元素晶体，大多数晶体的原胞中都含 有不止一个原子，这就是复式格子。为充分认识 复式格子晶格振动的特征，我们下面研究最简单 的复式格子一维双原子链的晶格振动。 3.2.1 运动方程 5