第六部分曲线积分与曲面积分第1页共40页 第六部分曲线积分与曲面积分 1.设曲线L是上半圆周x2+y2=2x,则∫xl=z。 解法1由于L关于直线x=1对称,所以∫(x-1)dl=0,从而 「xd=∫[(x-1)+1kd=j(x-1l+∫dl=0 解法2令L x=1+cost (0≤t≤x),则 y=sn I Jxdl=J(+cost)V(sin ()2+(cos 1)2dt=T 解法3设曲线L的质量分布均匀,则其重心的横坐标为x=1。又因为 所以∫xll 2.设L是上半椭圆周x2+4y2=1y≥0,L是四分之一椭圆周 =1x≥0,y≥0,则 谷 解由于L关于y轴对称,所以 SL xdI=0, JL xydl= JL ydl= 2JL ydl, JLxd=2L xdI,LLyd=2L y4c 注意到xd=2xd≠2l1yd,从而可以排除(A),(B),(O)三个选项,或直接选 出正确选项(D)。 3.计算=∫xdl,其中L是圆周x2+y2=a2上从点A(O,a)经点C(a0)到点 BO第六部分 曲线积分与曲面积分 第 1 页 共 40 页 1 第六部分 曲线积分与曲面积分 1．设曲线 L 是上半圆周 x y 2x 2 2 + = ，则  = L xdl  。 解法 1 由于 L 关于直线 x =1 对称，所以 ( −1) = 0 L x dl ，从而  = [( −1) +1] = ( −1) +  = 0 + =  L L L L xdl x dl x dl dl 。 解法 2 令 (0 ) sin 1 cos ,       = = + t y t x t L： ，则    =  + − + = 0 2 2 xdl (1 cost) ( sin t) (cost) dt L 。 解法 3 设曲线 L 的质量分布均匀，则其重心的横坐标为 x =1 。又因为   =   = L L L xdl dl xdl x ， 所以  =  L xdl 。 2 ． 设 L 是 上 半 椭 圆 周 4 1, 0 2 2 x + y = y  ， L1 是 四 分 之 一 椭 圆 周 4 1, 0, 0 2 2 x + y = x  y  ，则 (A)  + =  + L L x y dl x y dl 1 ( ) 2 ( ) 。 (B) L = L xydl xydl 1 2 。 (C) L = L x dl y dl 1 2 2 2 。 (D)  + =  + L L x y dl x y dl 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 。[ ] 答 D 解 由于 L 关于 y 轴对称，所以  = L xdl 0，  = L xydl 0，  =  1 2 L L ydl ydl ，  =  1 2 2 2 L L x dl x dl ，  =  1 2 2 2 L L y dl y dl 。 注意到 L = L  L x dl x dl y dl 1 1 2 2 2 2 2 ，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或直接选 出正确选项(D)。 3 ． 计算 =  L I xdl ， 其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a 上从点 A(0,a) 经 点 C(a,0) 到 点 ) 2 , 2 ( a a B − 的一段