第六部分曲线积分与曲面积分第2页共40页 解法1取y为自变量,则L的方程为x=a2-y2,其中-2≤y≤a,所以 I=xdl=j x( L 解法2取L的参数方程为{x=a0,其中-≤t≤,所以 2 I=xdl=J2 acostvG-asin 1-+(acost)dt=v2+I 4 解法3由于h=-{x,y是圆周x2+y2=a2的外向单位发向量,所以此圆周的正向单位 切向量为#{-y,x。根据两类曲线积分之间的关系,得 =「xdl=a-d=ad 其中L的方程为x=a2-y2,起点为B(,2),终点为A0,a)。因此 √2+1 dy 4.计算=f(x+√y√x2+y2+x2+y2d,其中L是圆周x2+(y-1)2=1 解由于圆周L关于y轴对称,所以fx√x2+y2d=0,从而 =f(x+√yx2+y2+x2+y2 因为L的参数方程为{ x= cost 0≤t≤2丌,所以 y=l+sn t =(2+√2)yll (2+√2)(+snO)d 2m(2+√2)第六部分 曲线积分与曲面积分 第 2 页 共 40 页 2 解法 1 取 y 为自变量，则 L 的方程为 2 2 x = a − y ，其中 y a a −   2 ，所以 2 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 1 1 ( ) dy a a y y a y I xdl a y x y dy a a a a L +  = − − = − +  = − +  =  − − 解法 2 取 L 的参数方程为    = = sin , cos , y a t x a t 其中 4 2   −  t  ，所以 2 2 4 2 2 2 2 1 I xdl a cost ( asin t) (a cost) dt a L + =  =  − + = −   。 解法 3 由于 { , } 1 x y a n =  是圆周 2 2 2 x + y = a 的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位 切向量为 { , } 1 y x a  −  。根据两类曲线积分之间的关系，得 =  =  =  L L L dl a dy a x I xdl a ， 其中 L 的方程为 2 2 x = a − y ，起点为 ) 2 , 2 ( a a B − ，终点为 A(0,a) 。因此 2 2 2 2 1 I a dy a dy a a a L + =  =  = − 。 4．计算 I x y x y x y dl L [( ) ] 2 2 2 2 =  + + + + ，其中 L 是圆周 ( 1) 1 2 2 x + y − = 。 解 由于圆周 L 关于 y 轴对称，所以 [ 0 2 2  x x + y dl = L ，从而 =  + = +  。 =  + + + + L L L y y y dl ydl I x y x y x y dl [ 2 2 ] (2 2) [( ) ] 2 2 2 2 因为 L 的参数方程为    = + = 1 sin , cos , y t x t 0  t  2 ，所以 = +  L I (2 2) ydl 2 (2 2)。 (2 2) (1 sin ) 2 0 = + = +  +     d