第六部分曲线积分与曲面积分第3页共40页 5.已知曲线L是平面x+y+z=0与球面x2+y2+2=R2的交线,计算曲线积分 f(x+y+a)dl L 解法1由于曲线L的方程中的变量x,y,z具有轮换对称性,所以 fxdl=fy-dl=f fxdl= fydl==dr L 因此 4 f( +=)=Rdl L f=f(x+y+M∥、l ∮Odl=0, 从而 4 f( x)dl=f(x+y)dI+f=dl 解法2直接化成定积分进行计算。曲线L x+y+2 0 在x-y平面的投影曲线 x +y +a 是一椭圆,其方程是 +x1 R R x=cost,+y= 令snt,0≤t≤2x,则曲线L的参数方程为 Rcost R 0≤t R R In t OSt第六部分 曲线积分与曲面积分 第 3 页 共 40 页 3 5．已知曲线 L 是平面 x + y + z = 0 与球面 2 2 2 2 x + y + z = R 的交线，计算曲线积分  + + L (x y z)dl 2 2 。 解法 1 由于曲线 L 的方程中的变量 x, y,z 具有轮换对称性，所以  =  =  L L L x dl y dl z dl 2 2 2 ，  =  =  L L L xdl ydl zdl ， 因此 2 2 2 2 2 2 3 3 4 3 2 ( ) 3 2 (x y )dl x y z dl R dl R L L L  + =  + + =  =  ， 0 0 3 1 ( ) 3 1  =  + + =  = L L L zdl x y z dl dl ， 从而 2 2 2 2 3 3 4 (x y z)dl (x y )dl zdl R L L L  + + =  + +  =  。 解法 2 直接化成定积分进行计算。曲线 L ：    + + = + + = 2 2 2 2 0 x y z R x y z 在 x − y 平面的投影曲线 是一椭圆，其方程是 2 2 2 2 R x + xy + y = ， 即 2 2 2 3 2 2 2 R y x x  =      + +         。 令 t R y x t R x sin 2 2 cos , 2 2 3 = + = ，0  t  2 ，则曲线 L 的参数方程为          = − − = − = cos , 6 sin 2 cos , 6 sin 2 cos , 3 2 t R t R z t R t R y x R t 0  t  2