证明：设f闭=3 arcs-ac0s(3x-4r）, 2 31-4x2) f'(x)=- -F+0-rx0-4r序=0 1=0=天， 例5证明当x>0时， 证明：令f)=n1+)。当x>0时，显然f)在0，上满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格 朗日中值定，存在5e0动，俊-0=5x.由于f0=0,0=1,所以 +话，z,数1* X 1 三、柯西中值定理 柯西中值定理如果函数fs)及Fd)在闭区间[a,b)上连续，在开区间(a,b)内可导，且F()在(a,b)内每 点处均不为零，那末在(a,)内至少有一点5(a<<b),使等式fb)-@=（但成立. Fb)-Fa）F(③ 几何解释：设曲线弧C由参数方程X=)(a5x≤b)表示，其中x为参数。如果曲线C上除端点外 Y=f(x) 处处具有不垂直于横轴的切线，那么在曲线C上必有一点x=5,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端 点的弦AB,曲线C上点x=5处的切线的斜率为少=2，弦AB的斜率为/-@.于是 dxF() F(b)-F(a) 8品得甲在雀线a上至者-点C53,八9》在孩的发行于货 [X=F(x) y=f OFO)FE)FEFO)主 66 证明： 设 ( ) 3arccos arccos(3 4 ) 3 f x = x − x − x ，        − 2 1 , 2 1 x ，则当 ) 2 1 , 2 1 x  (− 时 ， 0 (1 )(1 4 ) 3(1 4 ) 1 3 ( ) 2 2 2 2 2 / = − − − + − = − x x x x f x ，即 f (x)  f (0) =  ，        − 2 1 , 2 1 x 。 例 5 证明当 x  0 时， x x x x  +  + ln(1 ) 1 。 证明：令 f (t) = ln(1+ t) 。当 x  0 时，显然 f (t) 在 0, x 上满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格 朗日中值定 理，存在   (0, x) ，使 f (x) f (0) f ( )x / − =  。由于 f (0) = 0 ， t f t + = 1 1 ( ) / ，所以 + + = 1 ln(1 ) x x 。又 x x x x  +  1+ 1  ，故 x x x x  +  + ln(1 ) 1 。 注： n n n 1 ) 1 ln(1 1 1  +  + ， ) 1 1 ln(1 1  +  + n n n n 。 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数 f (x) 及 F(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在 (a,b) 内每 一点处均不为零，那末在 (a,b) 内至少有一点  (a    b) ,使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' '   F f F b F a f b f a = − − 成立． 几何解释: 设曲线弧 C 由参数方程    = = ( ) ( ) Y f x X F x ( a  x  b )表示 其中 x 为参数 如果曲线 C 上除端点外 处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必有一点 x =   使曲线上该点的切线平行于连结曲线端 点的弦 AB 曲线 C 上点 x =  处的切线的斜率为 ( ) ( )   F f dX dY   =  弦 AB 的斜率为 ( ) ( ) ( ) ( ) F b F a f b f a − −  于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   F f F b F a f b f a   = − − , 即在曲线弧 AB 上至少有一点 C(F( ), f ( )) ,在该点处的切线平行于弦 AB. ( ) 1 F  ( ) 2 o F  x y    = = ( ) ( ) Y f x X F x F(a) A F(b) B F(x) N M