证明：作辅助函数 a-o-8Fa-Rol 则p(x)满足罗尔定理的条件，于是在(a,b)内至少存在一点5，使得o()=0,即 f⑤-f-@r⑤=0，所以f-f@-g.证华. b-a F(b)-F(a）F'(5) 特别地当F(x)=x时，F(b)-F(a)=b-a,F(x)=1 由 f-fa-f2有)-@=3 F(b)-F(a)F() b-a 即f(b)-f()=∫"(5(b-a),故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日 中值定理的推广 例5设函数f(x)在0,1]上连续，在(0，内可导，证明：至少存在一点5∈(0,1)，使 f'(5)=2Lf(1)-f0] 玉与米#可务四0：是-得 1-0 设g(x)=x2,则f(x),g(x)在0，]上满足柯西中值定理的条件 于是至少存在一点5∈(0,1，使f0-f0-f⑤ 1-0 25 所以至少存在-点5∈0,1，使f四-0-固 1-0 25 即f'(5)=2Lf(1)-f(0] 思考题： 1、证明若函数在(-0，+∞)满足'()=f),且f0)=1,则fx)=e. 方法：px)=fx)1e,o'()=0 7 证明: 作辅助函数 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a F b F a f b f a x f x f a − − −  = − − 则 (x) 满足罗尔定理的条件，于是在 (a,b) 内至少存在一点  ，使得 ( ) = 0 , 即 ( ) 0 ( ) ( ) ( )  = − −   − F  b a f b f a f , 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   F f F b F a f b f a   = − − ．证毕． 特别地 当 F(x) = x 时, F(b) − F(a) = b − a, F(x) =1 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   F f F b F a f b f a   = − − 有 ( ) ( ) ( ) f  b a f b f a =  − − 即 f (b) − f (a) = f ( )(b − a), 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日 中值定理的推广. 例 5 设函数 f (x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,证明:至少存在一点  (0,1) ，使 f f f ( ) 2 [ (1) (0)]   = − 证明与分析: 结论可变形为   2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f  = − − =   = x x f x ( ) ( ) 2 设 2 g(x) = x ，则 f (x), g(x) 在 [0,1] 上满足柯西中值定理的条件 于是至少存在一点  (0,1) ，使   2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f  = − − 所以至少存在一点  (0,1) ，使   2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f  = − − 即 f ( ) = 2[ f (1) − f (0)] 思考题： 1、证明若函数 f (x) 在 (−,+) 满足 ( ) ( ) / f x = f x ，且 f (0) = 1 ，则 x f (x) = e 。 方法： x (x) = f (x)/ e ， ( ) 0 /  x =