F-u)- 于是F(x)满足罗尔定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点5，使得F'(5)=0 又F)=f)-@,所以O=f6)@ b-a b-a 即在(a,b)内至少有一点a<5<b),使得fb)-f(a)=f(⑤b-a).证毕 说明：1.fb)-f(a)=f(5b-a)又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式），此公式对于b<a也 成立 2.拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系：当设 f(x)在[a,b)上连续，在(a,b)内可导时，若xo,。+△x∈(a,b,则有 fx+△r)-f(x)=f'(x+x)A(0<9<1) 当y=fx)时，也可写成Ay=f"(x。+Ax)Ax(0<B<), 试与微分=∫(x)△x比较：d少=∫"(x)·△x是函数增量△y的近似表达式，而 △y=f"(x。+△x)△x(0<B<I)是函数增量△y的精确表达式.所以拉格朗日中值公式又称为有限增 量公式，拉格朗日中值定理又称有限增量定理 推论若函数在区间1上导数恒为零，则fx)在区间I上是一个常数 2.拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理1)可用于证明等式：2)可用于证明不等式. 例3证明arcsin+arccos=-l≤x≤) 证明：设f(x)=arcsin x+arccosx,xe[-ll] 于京0，所以)Ce-训 1 又f0)=arsn0+acos0=0+7=号，即C=号 放mnx+nosx-号 例4证明恒等式：3arcc0sx-arccos(3x-4r3)=元， 5 5 ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + 于是 F(x) 满足罗尔定理的条件，则在 (a,b) 内至少存在一点  ，使得 F( ) = 0 . 又 b a f b f a F x f x − −  =  − ( ) ( ) ( ) ( ) , 所以 b a f b f a f − −  = ( ) ( ) ( ) 即在 (a,b) 内至少有一点  (a    b) ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f  b − a .证毕 说明: 1. ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f  b − a 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于 b  a 也 成立; 2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导时, 若 , ( , ) x0 x0 + x a b , 则有 ( ) ( ) ( ) (0 1) f x0 + x − f x0 = f  x0 +x x   当 y = f (x) 时, 也可写成 ( ) (0 1). y = f  x0 +x x   试与微分 dy = f (x) x 比较 dy = f (x) x 是函数增量 y 的近似表达式 而 ( ) (0 1) y = f  x0 +x x   是函数增量 y 的精确表达式 所以拉格朗日中值公式又称为有限增 量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 2. 拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理 1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例 3 证明 ( 1 1) 2 arcsin x + arccos x = −  x   证明：设 f (x) = arcsin x + arccos x, x [−1,1] 由于 ) 0 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 = − + − −  = x x f x , 所以 f (x)  C, x[−1,1] 又 f (0) = arcsin 0 + arccos0 2 0  = + 2  = , 即 2  C = . 故 2 arcsin arccos  x + x = . 例 4 证明恒等式： 3arccos − arccos(3 − 4 ) =  3 x x x ，        − 2 1 , 2 1 x