5V22+yodo=S5vx2+y2do-[2+y2d de r-ar cosr dr 所以,∫(√x2+y2+y)da=。(3x-2) 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,对于二重积分,经常利用对称性 及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例812(1),《数学三临考演习》P16 第17题,《考研数学大串讲》P9例2. (17)(本题满分8分 设∫(x),8(x)在[a,b]上连续,且满足 /OM2J80Mh,x∈[a,b,J。()m=,8( ∫(x) drsg(r)dr 【分析】令Fx)=(-8x),G(x)=F(,将积分不等式转化为函数不等式即可 【详解】令Fx)=f(x)-g(x,G(x)=F(n)dt, 由题设G(x)≥0,x∈{a,b, G(a)=G(b)=0,G(x)=F(x) 从而「xF(x)d=[xdG(x)=x(x G(xdx=- G(x 由于G(x)≥0,x∈[a,b,故有 G(x)dx≤0, 即xF(x)x≤0 因此x/(x)dx≤xg(x)lx 【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法 完全类似的例题见《考研数学大串讲》P60例4 (18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量 ()求需求量对价格的弹性Ea(Ea4>0)8    + = + − + 1 2 2 2 2 2 2 2 D D D x y d x y d x y d     − = −       2cos 0 2 2 3 2 2 0 2 2 0 d r dr d r dr . (3 2) 9 16 9 32 3 16 = − =  −  所以， (3 2) 9 16 ( ) 2 2 + + = −    D x y y d . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性 及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101 例 8.12(1)，《数学三临考演习》P16 第 17 题，《考研数学大串讲》P79 例 2. (17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足    x a x a f (t)dt g(t)dt ，x  [a , b)，   = b a b a f (t)dt g(t)dt . 证明：    b a b a xf (x)dx xg(x)dx . 【分析】令 F(x) = f (x) − g(x)，  = x a G(x) F(t)dt ，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令 F(x) = f (x) − g(x)，  = x a G(x) F(t)dt ， 由题设 G(x)  0，x  [a , b]， G(a) = G(b) = 0，G(x) = F(x) . 从而     = = − = − b a b a b a b a b a x F(x)dx xdG(x) x G(x) G(x)dx G(x)dx ， 由于 G(x)  0，x  [a , b]，故有 − ( )  0  b a G x dx ， 即 ( )  0  b a xF x dx . 因此    b a b a xf (x)dx xg(x)dx . 【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. 完全类似的例题见《考研数学大串讲》P60 例 4. (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P  (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)；